Προβλήματα Μαθηματικών

Δεκέμβριος 5, 2008

Καλύπτεται;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 7:34 μμ

Γύρω από κάθε ρητό αριθμό \frac{p}{q}\in (0,1] θεωρήστε συμμετρικά ένα κλειστό διάστημα εύρους \frac{1}{2q^2}. Καλύπτει η ένωση όλων αυτών των διαστημάτων το (0,1];

Advertisements

17 Σχόλια »

  1. Θεωρουμε τους ρητους 1/n και τους (n-1)/n. Τοτε τα διαστηματα που οριζονται απο αυτους
    θα φτασουν μεχρι το 0 και μεχρι το 1 αντιστοιχα. Ολα τα ενδιαμεσα σημεια θα καλυφθουν λογω
    πυκνοτητας. Ειναι σωστο ενα τετοιο επιχειρημα?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από alexandrosr9 — Δεκέμβριος 8, 2008 @ 7:18 πμ

  2. Όχι. Η πυκνότητα μας εξασφαλίζει ότι για οποιοδήποτε x\in (0,1] και \epsilon>0 υπάρχει ρητός στο διάστημα (x-\epsilon,x+\epsilon). Αυτός ο ρητός όμως μπορεί να έχει μεγάλο παρονομαστή και το διάστημα γύρω από αυτόν να μην συμπεριλαμβάνει τον x.
    Υπόδειξη: Προσπαθήστε να εξακριβώσετε αν ο \frac{1}{\sqrt{2}} περιέχεται στην ένωση όλων των διαστημάτων.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Δεκέμβριος 11, 2008 @ 11:22 μμ

  3. Για ένα ρητό p/qε(0,1] και με το θεωρούμενο διάστημα που περιγράφεται στην υπόθεση, δημιουργείται ένα διάστημα [ 4pq-1/4q^2, 4pq+1/4q^2 ] ( εφόσον έχουμε 1/2*2q^2= 1/4q^2 δεξιά και αριστερά του ρητού p/q ).
    Επίσης, επειδή ο ρητός αυτός ε(0,1], συμπεραίνουμε ότι p είναι μικρότερος ή ίσος του q όταν p>0.
    Χρησιμοποιώντας την υπόδειξη, υπέθεσα ότι ο 1/ρίζα2 ανήκει σε ένα από τα δημιουργούμενα διαστήματα της μορφής που περιγράφηκε.
    Βάσει αυτού, βρήκα μια ένωση διαστημάτων ( έστω Δ ) όπου θα πρέπει να ανήκει ο q συναρτήσει του p ( ξεκινώντας από το ότι 4pq-1/4q^2 <= 1/ρίζα2 <= 4pq+1/4q^2 ).
    Μετά έκανα αντικατάσταση του p=1 και κατεληξα ότι δεν υπάρχει q ακέραιος που να είναι μεγαλύτερος ή ίσος του p και να ανήκει και στην ένωση διαστημάτων Δ.
    Αν είναι σωστά αυτά που γράφω, πώς σκεφτόμαστε για να εξετάσουμε τον 1/ρίζα2 συγκεκριμένα;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από talsfan — Ιανουαρίου 24, 2009 @ 11:11 πμ

  4. Το να ανήκει ο 1/\sqrt{2} στην ένωση των διαστημάτων είναι ισοδύναμο με το να περιέχει κάποιο φυσικό το σύνολο (που υπολογίζεται όπως εξηγείς)
    \displaystyle \Delta=\bigcup_{p\in\mathbb{N}} (\frac{p+\sqrt{p^2-2^{-1/2}}}{\sqrt{2}},\frac{p+\sqrt{p^2+2^{-1/2}}}{\sqrt{2}}).
    Δεν νομίζω όμως πως είναι ευκολότερο να ελέγξει κανείς το δεύτερο απ’ ότι το πρώτο.

    Δεν μπορώ να παρακολουθήσω το συλλογισμό σου από το σημείο που λες «Μετά έκανα αντικατάσταση…» και πέρα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιανουαρίου 24, 2009 @ 1:22 μμ

  5. Έχοντας βρει που κινείται ο q συναρτήσει του p, όταν ο 1/ρίζα2 ανήκει στο διάστημα που καλύπτεται γύρω από τον p/q, δεν επιτρέπεται να δώσω κάποια τιμή στον p και να ελέγξω αν ο q μπορεί να πάρει κάποια τιμή που να είναι ακέραια, μεγαλύτερη ή ίση του p ( γιατί p=1>0, p/q<=1 p<=q ) και ταυτόχρονα να ανήκει στο διάστημα Δ;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από talsfan — Ιανουαρίου 24, 2009 @ 1:44 μμ

  6. Ας συμβολίζουμε με I_p τα διαστήματα του προηγούμενου σχολίου μου, η ένωση των οποίων είναι το Δ. Αν δώσεις κάποια τιμή στον p και βρεις ακέραιο q στο I_p τότε θα έχεις αποδείξει ότι ο 1/\sqrt{2} ανήκει στην ένωση των αρχικών διαστημάτων (και θα έχεις βρει και ένα διάστημα στο οποίο σίγουρα ανήκει- αυτό με κέντρο το p/q). Αν όμως για κάποιο p δείξεις ότι το I_p δεν περιέχει ακέραιο (όπως έκανες για p=1) αυτό σημαίνει ότι ο 1/\sqrt{2} δεν περιέχεται σε κανένα από τα αρχικά διαστήματα με κέντρο ρητό που έχει αριθμητή αυτό το p. Υπάρχουν όμως πολλοί ρητοί ακόμη με άλλους αριθμητές… Για να δείξεις ότι ο 1/\sqrt{2} δεν ανήκει στην ένωση των αρχικών διαστημάτων θα πρέπει να δείξεις ότι δεν υπάρχει ακέραιος στο I_p για οποιοδήποτε p.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιανουαρίου 24, 2009 @ 2:39 μμ

  7. Αν α το κάτω άκρο του διαστήματος Ιp και β το άνω άκρο του ίδιου διαστήματος, αρκεί να δείξω ότι β-α<1.
    Με αντικατάσταση και ύψωση στο τετράγωνο κατέληξα στην |p|<(ρίζα3)2. Ισοδύναμα -(ρίζα3)/2 <p< (ρίζα3)/2.
    Με ενίσχυση προκύπτει ότι -1 < -(ρίζα3)/2 < p < (ρίζα3)/2 < 1 από όπου συνεπάγεται ότι -1 < p 0 από την υπόθεση. Άρα, -1 < p < 1 άτοπο.
    Επομένως,ο 1/ρίζα2 δεν ανήκει στην ένωση των αρχικών διαστημάτων, άρα το (0,1] δεν καλύπτεται.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από talsfan — Ιανουαρίου 24, 2009 @ 4:09 μμ

  8. » από όπου συνεπάγεται ότι -1 < p 0 από την υπόθεση.Άρα…»
    ( δεν το εμφανίστηκε σωστά στο post )

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από talsfan — Ιανουαρίου 24, 2009 @ 4:11 μμ

  9. Άντε πάλι -1<p<1. p ακέραιος, p όχι μηδέν, αφού p/q θετικός (υπόθεση).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από talsfan — Ιανουαρίου 24, 2009 @ 4:13 μμ

  10. Βασικά συγγνώμη. Αυτό που λέω για β-α<1 δεν είναι ικανή απόδειξη. Οπότε αυτά που γράφω είναι λάθος.
    Μια άλλη προσπάθεια έκανα θέτοντας δ τη διαφορά άνω – κάτω ορίου του Ιp. Τότε προκύπτει ότι p^2=8δ^4+1/8δ^2, άρα p=ρίζα(8δ^4+1/8δ^2). Αλλά p ακέραιος, άρα και η παράσταση στη ρίζα πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός. Αρκεί να δείξω ότι 8δ^4+1/8δ^2 = (δ^4) + (1/8δ^2) = [(κ^2) + (1/8κ) ] δεν είναι ακέραιος (κ=δ^2). Η σκέψη αυτή είναι σωστή;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από talsfan — Ιανουαρίου 24, 2009 @ 4:48 μμ

  11. talsfan:

    Ένα διάστημα με εύρος <1 μπορεί και να περιέχει ακέραιο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιανουαρίου 24, 2009 @ 4:56 μμ

  12. Ναι, πράγματι. Η άλλη πρόταση στο σχόλιο 10 μπορεί να δουλέψει; Δηλαδή να εκφράσω τον p συναρτήσει της διαφοράς άνω – κάτω άκρου του διαστήματος Ιp και να καταλήξω ( χρησιμοποιώντας ότι p ακέραιος ) σε άτοπο;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από talsfan — Ιανουαρίου 24, 2009 @ 5:14 μμ

  13. talsfan:

    Κατ’ αρχήν αν η διαφορά άνω-κάτω άκρου του I_p είναι \delta τότε αν κάνεις προσεκτικά τις πράξεις θα βρεις p^2=\frac{1+2\delta^4}{4\delta^2}. Το δεξί μέλος είναι μια συνεχής συνάρτηση για αυστηρά θετικά \delta και τείνει στο άπειρο καθώς \delta\to 0. Επομένως θα παίρνει και τιμές που είναι τέλεια τετράγωνα ακεραίων.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιανουαρίου 24, 2009 @ 9:21 μμ

  14. Ακολουθώντας την απόδειξη στο Αριθμοί Liouville II έχουμε:
    Θέτουμε z=1/sqrt(2) , f(x)=2*x^2-1 . Οπότε f(z)=0 και f'(x)=4*x άρα abs(f'(x))=2 ) και
    abs(z-p/q)<=1/(4*q^2) τότε f(p/q) είναι διάφορο του μηδέν ( οι ρίζες του f είναι οι
    1/sqrt(2),-1/aqrt(2) ) και από Θ.Μ.Τ. abs(f(p/q))(1/(4*q^2))*abs(2*p^2-q^2)>=1/(4*q^2) . Δηλαδή abs(z-p/q)>1/(4*q^2)>=abs(z-p/q) το οποίο είναι άτοπο. Αν p/q=1 τότε p=1,q=1 και z<1-1/4

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από pamp0s — Μαρτίου 13, 2010 @ 9:38 μμ

  15. Άκυρο το προιγούμενο.
    Ακολουθώντας την απόδειξη στο Αριθμοί Liouville II έχουμε:
    Θέτουμε z = 1/sqrt(2) , f(x) = 2*x^2-1 . Οπότε f(z) = 0 και f’(x) = 4*x άρα abs(f’(x)) 1 ) και abs(z-p/q) <= 1/(4*q^2) τότε f(p/q) είναι διάφορο του μηδέν ( οι ρίζες του f είναι οι
    1/sqrt(2) , -1/sqrt(2) ) και από Θ.Μ.Τ. abs(f(p/q)) (1/(4*q^2))*abs(2*p^2-q^2) >= 1/(4*q^2) . Δηλαδή abs(z-p/q) > 1/(4*q^2) >= abs(z-p/q) το οποίο είναι άτοπο. Αν p/q = 1 τότε p = 1 , q = 1 και z < 1-1/4

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από pamp0s — Μαρτίου 13, 2010 @ 9:56 μμ

  16. Μια τελευταία δοκιμή.
    Ορίζουμε z=\frac{1}{\sqrt{2}}\;,\;f(x)=2x^2-1.\;\; Έχουμε \;f(z)=0\; και (\;{f}'(x)=4x\;\Rightarrow \;\lvert{f}'(x)\rvert <\frac{1}{4}\;\forall x\in (0,1)\;).
    Αν υπάρχει \frac{p}{q}\in (0,1) ώστε \;\rvert z-\frac{p}{q}\lvert \leq \frac{1}{4q^2}\; τότε \;f(\frac{p}{q})\neq0\; (οι ρίζες του f είναι \pm \frac{1}{\sqrt{2}})\;και άρα \lvert f(\frac{p}{q})\rvert= \lvert \frac{1}{4q^2}(2p^2-q^2)\rvert\geq \frac{1}{4q^2}.\; Επομένως από το Θ.Μ.Τ. \;\lvert z-\frac{p}{q}\rvert > \frac{1}{4q^2} \geq\ \lvert z-\frac{p}{q}\rvert \; άτοπο. Αν πάλι \frac{p}{q}=1 τότε z<1-\frac{1}{4}\le 1-\frac{1}{4q^2}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από pamp0s — Μαρτίου 13, 2010 @ 11:21 μμ

  17. Σωστά.

    Έκανα λίγο editing στο σχόλιο για να διαβάζεται ευκολότερα.
    Για να χρησιμοποιήσουμε κώδικα latex κάνουμε το ακόλουθο.

    Πληκτολογούμε «$» ακολουθούμενο από τη λέξη latex,
    έπειτα τον κώδικα που θέλουμε, και τέλος πάλι «$».

    Π.χ. αν βάλετε ανάμεσα σε σύμβολα δολαρίου την εντολή latex \frac{p}{q}\le 1
    θα εμφανιστεί \frac{p}{q}\le 1.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Μαρτίου 14, 2010 @ 4:01 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: