Προβλήματα Μαθηματικών

Νοεμβρίου 30, 2008

Αντι-παράγωγος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 2:45 μμ

Είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση των ρητών (1 στους ρητούς, 0 στους άρρητους) παράγωγος κάποιας συνάρτησης;

Advertisements

12 σχόλια »

  1. Όχι…Έστω ότι ήταν η f.Τότε, για y ρητό και ε>0, υπάρχει δ>0 ώστε για κάθε x με 0<|x-y|<δ, ισχύει ότι [f(x)-f(y)]/(x-y) είναι στο (1-ε,1+ε)
    ΄
    Όμως για x άρρητο με 0<|x-y|<δ (που υπάρχει λόγω της πυκνότητας) εχουμε οτι το πηλίκο βρίσκεται στο (-ε,ε), άτοπο…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από olack — Δεκεμβρίου 2, 2008 @ 9:55 μμ

  2. Δεν είναι σωστό.
    Έχεις σταθεροποιήσει έναν ρητό y και λες ότι για κάθε x με 0<|x-y|<\delta έχουμε

    \displaystyle\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}-1\right|<\varepsilon.

    Η σχέση αυτή ισχύει είτε ο x είναι ρητός, είτε άρρητος. Έχεις μπερδέψει τους ρόλους των x και y.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκεμβρίου 3, 2008 @ 3:27 μμ

  3. ‘Εχεις απόλυτο δίκιο.Θα το ξανακοιτάξω.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από olack — Δεκεμβρίου 3, 2008 @ 4:09 μμ

  4. Η απαντηση ειναι οχι. Η παρκατω αποδειξη δουλευει για καθε χαρακτηριστικη συναρτηση μιας πυκνους προσθετικης υποοομαδας των πραγματικων (γνησιας φυσικα). Εστω f η χαρακτηριστικη συναρτηση των ρητων και F η υποθετικη της αντιπαραγωγος. Θα δειξουμε οτι η F ειναι μια σταθερη συναρτηση, το οποιο ειναι προφανως ατοπο. Χωρις βλαβη της γενικοτητας υποθετουμε οτι F(0)=0. Η βασικη παρατηρηση ειναι οτι καθε ρητος αριθμος r ειναι περιοδος της f και αρα και της F απο τον ορισμο της παραγωγου (εδω χρησιμοποιειται το γεγονος οτι οι ρητοι ειναι προσθετικη υποομαδα). Επισης, καθως 0\le f\le 1, απο το θεωρημα μεσης τιμης εχουμε οτι

    0\le F(y)-F(x)\le y-x για καθε x\le y.

    Αρα, λογω περιοδικοτητας, για καθε φυσικο αριθμο n εχουμε οτι

    \int_0^1F(t)dt=n\int_0^{1/n}F(t)dt
    =n\int_0^{1/n}(F(t)-F(0))dt\le n\int_0^{1/n}tdt
    =\frac1{2n}\to0 οταν n\to\infty.
    Ομως F(t)\ge0 για t\ge0. Επομενως,

    \int_0^1F(t)dt=0.

    Καθως η F ειναι συνεχης (ως παραγωγισιμη), αυτο συνεπαγεται οτι η F ειναι 0 στο [0,1] και αρα παντου λογω περιοδικοτητας, πραγμα ατοπο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από partalopoulo — Δεκεμβρίου 7, 2008 @ 3:18 πμ

  5. Πώς εξασφαλίζεις την περιοδικότητα της F;
    Αν r είναι μια περίοδος της f, τότε F'(x+r)=F'(x) για κάθε x, άρα F(x+r)=F(x)+c_r, για κάποια σταθερά c_r. Γιατί το c_r είναι μηδέν;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκεμβρίου 7, 2008 @ 2:26 μμ

  6. Εστω r ρητος. Εχουμε οτι f(x+r)=f(x) για καθε x. Αρα για καθε x

    F(x+r)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+r+h)-f(x+r)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=F(x).

    Αυτο εννουσα οταν εγραψα «απο τον ορισμο της παραγωγου».

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από partalopoulo — Δεκεμβρίου 7, 2008 @ 11:19 μμ

  7. Τωρα που το σκεφτομαι δε χρειαζομαι τον υπολογισμο του ολοκληρωματος. Απο τη στιγμη που η F ειναι αυξουσα και περιοδικη, θα πρεπει να ειναι σταθερη. Εχουμε οτι F(0)=F(1)=0 και αρα F(x)=0 για καθε x\in[0,1]. Τοτε F=0 ταυτοτικα λογω περιοδικοτητας.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από partalopoulo — Δεκεμβρίου 7, 2008 @ 11:31 μμ

  8. Η f υποτίθεται ότι είναι η παράγωγος της F. Δεν είναι βέβαια η F παράγωγος της παντού ασυνεχούς f.
    Τα όρια που γράφεις δεν έχουν νόημα. Μάλλον μπέρδεψες ποια είναι η F και ποια η f.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκεμβρίου 8, 2008 @ 12:06 πμ

  9. Εχετε απολυτο δικιο. Μπερδευτηκα και αλλαξα τους ρολους των F και f. Διορθωνω λοιπον την αποδειξη. Για καθε ρητο r\neq 0 υπαρχει καποια σταθερα c_r ωστε F(x+r)=F(x)+c_r. Απο το θεωρημα μεσης τιμης εχουμε οτι c_r=0 ή c_r=r. Αν υπαρχει καποιος ρητος r ωστε c_r=0, τοτε απο το σχολιο (7) (καταλληλα τροποποιημενο) θα εχουμε οτι F=0 ταυτοτικα, πραγμα ατοπο. Ας υποθεσουμε λοιπον οτι c_r=r για καθε ρητο r. Αρα

    F(r)=F(0+r)=F(0)+r=0+r=r

    για καθε ρητο r και, λογω συνεχειας F(x)=x για καθε πραγματικο αριθμο x, το οποιο συνεπαγεται οτι f(x)=1. Αυτο σημαινει οτι ολοι οι πραγματικοι ειναι ρητοι, κατι το οποιο προφανως και δεν ισχυει (εδω χρησιμοποιειται το γεγονος οτι οι ρητοι ειναι γνησιο υποσυνολο των πραγματικων. Αυτο επρεπε να χρησιμοποιηθει καπου!)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από partalopoulo — Δεκεμβρίου 8, 2008 @ 12:39 πμ

  10. Πολύ σωστά. Στην πραγματικότητα, το ότι το \mathbb Q είναι… το \mathbb Q, δεν παίζει κανένα ρόλο.
    Μπορείς να δείξεις ότι η χαρακτηριστική συνάρτηση οποιουδήποτε συνόλου (εκτός του ίδιου του \mathbb R) δεν έχει αντιπαράγωγο;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκεμβρίου 8, 2008 @ 1:27 πμ

  11. Παραθετω εδω τη λυση στο γενικοτερο ερωτημα που θεσατε.

    Εστω A ενα υποσυνολο των πραγματικων αριθμων. Θετουμε f=\chi_A για τη χαρακτηριστικη του συναρτηση και g=\chi_{A^c} για τη χαρακτηριστικη συναρτηση του συμπληρωματος του. Εχουμε οτι f+g=1 ταυτοτικα και αρα η f εχει αντιπαραγωγο αν, και μονο αν, η g εχει αντιπαραγωγο. Θα δειξουμε οτι αν

    \displaystyle{\emptyset\varsubsetneq A\varsubsetneq\mathbb{R}},

    τοτε αυτο ειναι αδυνατο (σε αντιθετη περιπτωση το προβλημα εχει τετριμμενη λυση). Εστω λοιπον F και G οι υποθετικες αντιπαραγωγοι των συναρτησεων f και g, αντιστοιχα. Χωρις βλαβη της γενικοτητας υποθετουμε οτι F(0)=G(0)=0. Τοτε θα εχουμε οτι

    \displaystyle{(*) F(x)+G(x)=x}.

    Εστω x\neq y. Τοτε απο το θεωρημα μεσης τιμης εχουμε οτι

    \displaystyle{(1) F(x)-F(y)=x-y}

    ή

    \displaystyle{(2) F(x)=F(y)}.

    Σε καθε περιπτωση, οι F,G ειναι αυξουσες συναρτησεις. Αν ισχυει η (1), τοτε απο τη (*) παιρνουμε οτι G(x)=G(y) και καθως η G ειναι αυξουσα, η G ειναι σταθερη στο διαστημα που οριζεται απο τα σημεια x,y. Διαφορετικα, αν ισχυει η (2), τοτε η F θα ειναι σταθερη σε αυτο το διαστημα. Αν τωρα εξετασουμε τι γινεται μεσα στο διαστημα {[0,1]}, το παραπανω επιχειρημα συνεπαγεται οτι μια εκ των F και G θα ειναι σταθερη σε αυτο. Χωρις βλαβη της γενικοτητας υποθετουμε οτι η F ειναι σταθερη και αρα F(x)=F(0)=0 για x\in[0,1]. Τοτε ισχυριζομαστε οτι

    (**) F=0 ταυτοτικα σε ολη την πραγματικη ευθεια.

    Οντως, αν υπηρχε καποιο σημειο x\in\mathbb{R} τετοιο ωστε F(x)\neq0, τοτε για τα σημεια 0 και x η (2) δεν μπορει να ισχυει και αρα θα ισχυει η (1). Αυτο με τη σειρα του συνεπαγεται οτι η G ειναι σταθερα ιση με το 0 στο συγκεκριμενο διαστημα και αρα F(t)=t μεταξυ των 0 και x. Καθως ξερουμε οτι F(1)=0, θα πρεπει να εχουμε οτι x<0. Αυτο ομως ειναι αδυνατο, γιατι τοτε η F δε θα ηταν παραγωγισιμη στο σημειο 0. Επομενως, η (**) ισχυει. Παραγωγιζοντας την (**) βρισκουμε οτι f=0 ταυτοτικα στην πραγματικη ευθεια και αρα το συνολο A ειναι κενο, πραγμα που αντιβαινει στην υποθεση για αυτο το συνολο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από partalopoulo — Δεκεμβρίου 10, 2008 @ 3:46 πμ

  12. Πολύ σωστά.
    Ο «βαθύτερος» λόγος που ισχύουν όλα αυτά είναι ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί να είναι ασυνεχής, έχει όμως πάντα την ιδιότητα ενδιάμεσης τιμής. Επομένως αν κάποια συνάρτηση δεν την έχει (όπως μια χαρακτηριστική), τότε δεν μπορεί να έχει αντιπαράγωγο. Κάτι άλλο, ανεξάρτητο, το οποίο δείχνει ότι η παράγωγος δεν μπορεί να είναι «πολύ ασυνεχής» είναι το εξής. Η παράγωγος είναι κατά σημείο όριο μιας ακολουθίας συνεχών συναρτήσεων. Τέτοιες συναρτήσεις, από το θεώρημα του Baire, πρέπει να είναι συνεχείς σε ένα πυκνό G_\delta σύνολο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκεμβρίου 10, 2008 @ 3:03 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: