Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 21, 2008

Συναρτησιακή εξίσωση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 5:43 μμ

Βρείτε όλες τις αναλυτικές (δηλαδή παραγωγίσιμες) συναρτήσεις f:\mathbb C\to\mathbb C που ικανοποιούν τη σχέση

f(zw)=f(z)f(w),

για κάθε z,w\in\mathbb C.

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Δεν έχω Latex οπότε ισως γίνω λίγο κουραστικός.
    Μια προφανής τέτοια συνάρτηση είναι η f(z)=0 . Ας υποθέσουμε οτι η f δεν είναι η μηδενική. Τότε μπορούμε να βρούμε z0 στον θετικό άξονα και r>0 τέτοια ώστε f(z) != 0 στο B(z0,r) (Αρχή Ταυτισμού).
    Παραγωγίζοντας ως πρός w έχουμε: zf'(wz) = f'(w)f(z). Θέτουμε w=1 και έχουμε zf'(z) = f'(1)f(z) (*) . Ας είναι Α=f'(1). Στο B(z0,r) θέτουμε g(z) = Log( f(z) / z^A ). Η g είναι αναλυτική λόγω των υποθέσεων για το B(z0,r). Παρατηρούμε ότι λόγω της (*) έχουμε g'(z) = 0. => g(z) = c != 0 => f(z) = Cz^A με C != 0 . Άπο την συναρτησιακή εξίσωση της f έχουμε ότι για z0 και w0 στον θετικό άξονα και στο B(z0,r) έχουμε f(z0w0) = f(z0)f(w0) => C ^2 = C => C =1 . Οπότε στο B(z0,r) ο τύπος της f είναι f(z) = z^A. Όμως η z^A είναι αναλυτική σε όλο το μιγαδικό επίπεδο εκτός από τους αρνητικούς και το 0. Από την Αρχή Ταυτισμού θα έχουμε f(z) = z^A στο C\(-Inf, 0]. H z^A όμως είναι ασυνεχής στο (-Inf, 0] όταν Α != 1, 2, … Επομένως, αφού η f είναι ακέραια θα έχοθμε ότι Α = n γαι κάποιο n φυσικό. Οπότε f(z) = z^n στο C\(-Inf, 0] και από την Αρχή Ταυτισμού f(z) = z^n στο C.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από vsv87 — Δεκέμβριος 11, 2008 @ 7:55 μμ

  2. Θεωρουμε συναρτηση f\in H(\mathbf C). Οι επομενες προτασεις ειναι ισοδυναμες :

    1.f(z)f(w)=f(zw) για καθε z,w μιγαδικους αριθμους.

    2.f^2(z)=f(z^2) για καθε μιγαδικο αριθμο z.

    3.f(z)=0 για καθε z ή υπαρχει καποιος φυσικος αριθμος k\geq 0 τετοιος ωστε :

    f(z)=z^k για καθε z.

    Αποδειξη:

    Το 1. συνεπαγεται 2 ειναι προφανες. Το 3. συνεπαγεται 1 ειναι παλι προφανες. Θα αποδειξουμε το

    2.συνεπαγεται 3. Επειδη η συναρτηση ειναι ολομορφη σε ολο το μιγαδικο επιπεδο δλδ ακεραια εχει την εξης

    αναπαρασταση

    f(z)=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}z^i.

    Αρα η συναρτηση f^2(z) εχει την αναπαρασταση

    f^2(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{k}a_{i}a_{k-i}z^k.

    Ας θεσουμε b_{k}=\sum_{i=0}^{k}a_{i}a_{k-i}. Αλλα f^2(z)=f(z^2) για καθε z απο υποθεση, και αρα

    απο μοναδικοτητα των συντελεστων επεται το εξης :

    b_{2k+1}=0 και b_{2k}=a_{k} για καθε {k} μη αρνητικο ακεραιο. Παρατηρουμε επισης το εξης f(0)=0 ή f(0)=1 οπου φυσικα f(0)=a_0. Απο αυτα επεται αμεσα το 3. Η αποδειξη ειναι πληρης.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nikos3223 — Δεκέμβριος 12, 2008 @ 2:14 πμ

  3. Πώς από τις σχέσεις b_{2k+1}=0 και b_{2k}=a_k συμπεραίνεις ότι η f έχει την ζητούμενη μορφή;
    Μπορείς να το εξηγήσεις λίγο;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 12, 2008 @ 2:53 πμ

  4. Εάν f(z)=0 για καθε μιγαδικο αριθμο τοτε δεν εχουμε να αποδειξουμε τιποτα. Διαφορετικα υπαρχει καποιο a_{i} διαφορετικο απο το μηδεν. Ας παρουμε το k=min\{i\geq 0:a_{i}\neq 0\}. Τοτε για καθε i μικροτερο του k το a_{i} ειναι μηδεν και μαλιστα καθε a_{i} με i αυστηρα μεγαλυτερο του k ειναι μηδεν. Συνεχιζοντας απο την σχεση 2k+1 παιρνουμε οτι a_{k}=1. Αρα f(z)=z^k.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nikos3223 — Δεκέμβριος 12, 2008 @ 8:59 πμ

  5. nikos 3223 και vsv87:

    Και οι δυο λύσεις είναι σωστές. Ένα μόνο σχόλιο στη λύση του vsv82. Δεν έχεις κάποια εγγύηση ότι αν πολλαπλασιάσεις δυο αριθμούς στον δίσκο B(z_0,r) το γινόμενό τους είναι μέσα στο δίσκο. Επομένως, για να είσαι τυπικά σωστός, δείχνεις πρώτα ότι f(z)=cz^n σε ολόκληρο το \mathbb C και μετά ότι c=1.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 12, 2008 @ 2:45 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: