Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 12, 2008

Περίπλοκα σύνολα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 3:02 πμ

Από τοπολογική άποψη, τα πιο απλά υποσύνολα του \mathbb R είναι τα ανοιχτά και τα κλειστά. Τα αμέσως πιο περίπλοκα είναι αυτά που μπορούν να γραφτούν σαν αριθμήσιμες ενώσεις κλειστών ή αριθμήσιμες τομές ανοιχτών. Αυτά λέγονται F_\sigma και G_\delta αντίστοιχα. Για παράδειγμα, το σύνολο των ρητών είναι F_\sigma και το σύνολο των άρρητων είναι G_\delta. Βρείτε ένα σύνολο το οποίο δεν είναι ούτε F_\sigma ούτε G_\delta.

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Θέλω να προλάβω όσους γνωρίζουν Θεωρία Μέτρου και θα έδιναν μια απάντηση του τύπου:

    «Θεωρούμε ένα μη-μετρήσιμο σύνολο»

    ή

    «Αρκεί να πάρουμε ένα μετρήσιμο σύνολο το οποίο δεν είναι Borel».

    Τέτοιες απαντήσεις θα ήταν ισοδύναμες με χρήση πυρηνικών όπλων για να σκοτώσετε ένα κουνούπι.
    Ζητάω ένα σύνολο το οποίο να είναι Borel και εντελώς «κατασκευάσιμο».
    Όσοι δεν γνωρίζουν Θεωρία Μέτρου μπορούν να αγνοήσουν αυτό το σχόλιο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Νοέμβριος 12, 2008 @ 2:00 μμ

  2. Αν θεωρήσουμε ως σύνολο A=[0,\infty)\cap \mathbb Q και B=(-\infty,0)\cap \mathbb Q^c, τότε το A\cup B νομίζω μας κάνει τη δουλειά: Είναι Borel και δεν είναι ούτε F_\sigma, ούτε G_\delta.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από petvalet — Δεκέμβριος 30, 2008 @ 5:21 μμ

  3. Πολύ σωστά.
    Το ότι το A\cup B δεν είναι ούτε F_\sigma ούτε G_\delta, προκύπτει από το ότι οι ρητοί δεν είναι G_\delta, το οποίο είναι, με τη σειρά του, συνέπεια τού θεωρήματος τού Baire.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 30, 2008 @ 8:32 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: