Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 12, 2008

Γραμμικός συνδυασμός με μη αρνητικούς συντελεστές

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 11:07 πμ

Ας είναι {a_1, \ldots,a_n \in {\mathbb R}^m} και {b \in {\mathbb R}^m} δοσμένα διανύσματα. Μας ενδιαφέρει να γράψουμε το b ως γραμμικό συνδυασμό των {a_1,\ldots,a_n} όπου οι συντελεστές είναι μη αρνητικοί:

{b = x_1 a_1 + \cdots + x_n a_n}, με {x_1,\ldots,x_n \ge 0}      (*).

Δείξτε ότι αν αυτό είναι αδύνατο τότε υπάρχει ένα {y \in {\mathbb R}^m} τέτοιο ώστε τα εσωτερικά γινόμενα {y\cdot a_i}, {i=1,\ldots,n} είναι όλα {\ge 0} αλλά {y\cdot b < 0}.

Παρατηρείστε ότι αν υπάρχει τέτοιο διάνυσμα y τότε σίγουρα δε μπορούμε να γράψουμε το b σα μη αρνητικό συνδυασμό των a_i. Τέτοιο y υπάρχει συνεπώς αν και μόνο αν η (*) δεν έχει λύση.

Advertisements

1 σχόλιο »

  1. Υπόδειξη:

    Το διάνυσμα b υποθέτουμε ότι είναι εκτός του κυρτού συνόλου K εκείνων των διανυσμάτων που μπορούν να γραφούν ως μη-αρνητικοί γραμμικοί συνδυασμοί των {a_1, \ldots , a_n}. Ας είναι z  \in K το σημείο του K που είναι πλησιέστερα στο b

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 7, 2008 @ 10:54 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: