Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτώβριος 19, 2008

Ανακατέματα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 7:56 μμ

Έχουμε ένα τετράγωνο χαρτί, 1×1, που είναι άσπρο με μια μικρή στρογγυλή μαύρη βούλα, με κέντρο στο σημείο P=(a,b) και ακτίνα r. Το κόβουμε σε πολλά μικρά κομμάτια και τα κολλάμε πάλι ώστε να σχηματιστεί ξανά ένα τετράγωνο χαρτί 1×1. Αυτή η πράξη ορίζει μια συνάρτηση

{f:[0,1]^2 \to [0,1]^2}

που στέλνει κάθε σημείο του χαρτιού {[0,1]^2} στη νέα του θέση. Κατόπιν επαναλαμβάνουμε αυτή την πράξη επ’ άπειρον. Μετά από δύο βήματα δηλ. το σημείο (x,y) του χαρτιού έχει πάει στη θέση f(f(x,y)) κ.ο.κ.

Δείξτε ότι μετά από κάποιο βήμα κάποιο σημείο του κύκλου με ακτίνα r και κέντρο το P θα ξαναείναι μαύρο, όπως στην αρχική μορφή του χαρτιού.

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Κατ’ αρχας, υποθετω οτι η f ειναι μετρησιμη, γιατι αν καποιος ανθρωπος κοβει τα κομματια, τοτε ειναι λιγο δυσκολο να χρησιμοποιησει το αξιωμα της επιλογης και να κατασκευασει μη μετρησιμα συνολα με ενα ψαλιδι…

    Η συναρτηση f ειναι προφανως ενας μετασχηματισμος του [0,1]^2, δηλαδη ειναι 1-1 και επι. Επισης, αν μ ειναι το μετρο Lebesgue, τοτε μ(f(A))=μ(Α) για καθε μετρησιμο Α, καθως η f απλα θα τεμαχισει το Α σε κομματια και μετα θα τα μετακινησει αυτουσια σε καποιο αλλο σημειο του επιπεδου. Εστω τωρα Β η μπαλλα με κεωτρο το P και ακτινα r. Αυτο που ουσιαστικα θελουμε να δειξουμε ειναι οτι το f^n(B) τεμνει το Β για καποιο θετικο n. Στην πραγματικοτητα, μπορουμε να δειξουμε οτι η τομη θα εχει θετικο μετρο. Οντως, αν υποθεσουμε οτι για καθε φυσικο αριθμο n μ(Β τομη f^n(B))=0, τοτε για ακεραιους n>0 και m>=0 θα εχουμε οτι

    μ(f^m(B) τομη f^{n+m}(B))=μ(f^m(B τομη f^n(B)))=μ(B τομη f^n(B))=0. Δηλαδη τα συνολα Β,f(B),f^2(B),… εχουν τομη μετρου μηδεν ανα δυο. Επομενως, αν Α ειναι η ενωση αυτων των συνολων, τοτε

    μ(A)=μ(Β)+μ(f(B))+μ(f^2(B))+…
    =μ(Β)+μ(Β)+μ(Β)+….=+\infty

    το οποιο ειναι αδυνατο για το Α ειναι υποσυνολο του [0,1]^2, που εχει πεπερασμενο μετρο. Αρα θα υπαρχει n>0 ωστε μ(Β τομη f^n(B))>0.

    Ερωτηση: πως μπορω να γραψω σε κωδικα \TeX τις απαντησεις μου? Χρειαζεται καποιο plug-in? Επισης, χρειαζονται δολλαρια, δηλ πρεπει να γραψω $\infty$ ή \infty?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από partalopoulo — Οκτώβριος 24, 2008 @ 6:29 πμ

  2. Πολύ σωστά. Αυτό που απέδειξες ονομάζεται Θεώρημα επιστροφής (recurrence) του Poincare.

    Για latex στο wordpress δες εδώ

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτώβριος 24, 2008 @ 9:50 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: