Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτώβριος 16, 2008

Ομοιόμορφα φραγμένες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 6:44 μμ

Έστω f_n:\mathbb R\to \mathbb R μια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων τέτοια ώστε το σύνολο \{f_n(x):n\in\mathbb N\} είναι φραγμένο για κάθε x\in\mathbb R. Δείξτε ότι υπάρχει ένα διάστημα I και ένας αριθμός M>0 έτσι ώστε |f_n(x)|\leq M για κάθε x\in I και κάθε n. Δηλαδή αν η ακολουθία f_n είναι κατά σημείο φραγμένη τότε είναι ομοιόμορφα φραγμένη σε κάποιο διάστημα.

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Το r στα επομενα θα συμβολιζει Θετικο ρητο αριθμο. Παρατηρουμε οτι για καθε x πραγματικο υπαρχει ενας ρητος r τετοιος ωστε |f_{n}(x)|\leq r για καθε n φυσικο αριθμο. Τοτε αληθευει το ακολουθο: \mathbf R=\bigcup_{r}\bigcap_{n\in\mathbf N}\{x\in\mathbf R:|f_{n}(x)|\leq r\}. Δηλαδη γραφουμε το \mathbf R ως αριθμησιμη ενωση κλειστων συνολων και επειδη το \mathbf R ειναι συνολο δευτερης κατηγοριας του Baire προκυπει οτι υπαρχει καποιο r ετσι ωστε το συνολο \bigcap_{n\in\mathbf N}\{x\in\mathbf R:|f_{n}(x)|\leq r\} να εχει μη κενο εσωτερικο. Το ζητουμενο ειναι τωρα προφανες.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nikos3223 — Δεκέμβριος 12, 2008 @ 6:52 μμ

  2. Πολύ σωστά.
    Για όσους δεν το γνωρίζουν, το θεώρημα τού Baire λέει ότι αν ένας πλήρης μετρικός χώρος γράφεται σαν αριθμήσιμη ένωση συνόλων, τότε η κλειστότητα κάποιου από αυτά πρέπει να έχει μη κενό εσωτερικό. Στην περίπτωση τής άσκησης, τα σύνολα στην ένωση είναι κλειστά γιατί η f είναι συνεχής.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 12, 2008 @ 7:13 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: