Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτώβριος 9, 2008

Κέντρο βάρους

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 4:59 μμ

Δείξτε πρώτα ότι το κέντρο βάρους των κορυφών ενός τριγώνου συμπίπτει πάντα με το κέντρο βάρους του τριγώνου. Στη συνέχεια δείξτε ότι το κέντρο βάρους των κορυφών ενός τετραπλέυρου συμπίπτει με το κέντρο βάρους του τετραπλεύρου αν και μόνο αν το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Υπενθυμίζεται ότι το κέντρο βάρους των κορυφών ενός \nu-γώνου με κορυφές (x_1,y_1),...,(x_\nu,y_\nu) είναι το κέντρο βάρους \nu ίσων μαζών τοποθετημένων στις κορυφές του και έχει συντεταγμένες

\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+\cdots+x_\nu}{\nu}\qquad \bar{y}=\frac{y_1+\cdots+y_\nu}{\nu}.

Οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους ενός πολυγώνου Π (που είναι το κέντρο βάρους μιας μάζας κατανεμημένης ομοιόμορφα στην επιφάνεια του πολυγώνου) δίνονται από τις σχέσεις

\displaystyle x_G=\frac{\iint_{\Pi} xdxdy}{\iint_{\Pi} dxdy} \qquad y_G=\frac{\iint_{\Pi} ydxdy}{\iint_{\Pi} dxdy}

και μπορείτε να τις βρείτε στο παλιό και αγαπημένο πρόβλημα «Τύπος για Εμβαδό Πολυγώνου«

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Για το τρίγωνο δεν θα πώ. Έχει πει ο Ceva πριν από μάς, για μάς! 🙂
    Για το τετράπλευρο, θα προτιμούσα μια «καθαρά» γεωμετρική ή έστω με δυναμοπολύγωνα (διανυσματική) απόδειξη, αλλά πρέπει να τιμηθούν οι τύποι του Μιχάλη, οπότε λέω:
    Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας (λίγο «κλισέ» αυτή η έκφραση..) ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές/συντεταγμένες σε καρτεσιανό x-y :
    A(0,0) B(xB,yB)
    Γ(xΓ,0) και Δ(xΔ,yΔ)
    To βαρύκεντρο των κορυφών (κεντροειδές) λοιπόν είναι: xμέσο=(1/4)*(xB + xΓ + xΔ+0) και yμέσο=(1/4)(yB +yΔ +0+0) (1)
    Το κ.β επιφανείας έχει: xG και yG τα διπλά μουστάκια που έχει ο Μιχάλης στην εκφώνηση ,δηλαδή (μετά από κάποιους απλούς σχετικά υπολογισμούς) —-> xG=(xΓ*yB +xB*yB – xΓ*yΔ -χΔ*yΔ) / 3(yB-yΔ) και yG=(yB +yΔ)/3 (2)
    Εξισώνοντας ,αντιστοίχως τα x και y, από τις (1) και (2) ,έχουμε: yB+yΔ=0 και xB+xΔ=xΓ (3)
    Οι σχέσεις (3) σημαίνουν πως το ΑΒΓΔ είναι παραλ/μμο.
    Το αντίστροφο είναι προφανές.

    ΥΓ.Να προτείνω για την γεωμ.εύρεση των x,y μέσων , εκτός απ’τη γνωστή διαδικασία τριγωνάκια ,διάμεσες ,κλ.π. και μια εναλλακτική : Tριχοτόμηση πλευρών και τα 8 σημεία που προκύπτουν ορίζουν παραλληλόγραμο(με τις αντίστοιχες προεκτάσεις που κάνουμε) του οποίου οι διαγώνιες τέμνονται στο κεντροειδές.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Νοέμβριος 27, 2013 @ 11:02 μμ

  2. Προς αποφυγή παρεξήγησης, τα «διπλά μουστάκια» που έγραψα είναι έκφραση από κάποιο φιλαράκι απ’τα παλιά που βλέποντας τους γερμαναράδες να γεμίζουν τους μεγάλους μαυροπίνακες ολοκληρώματα είπε το αμίμητο: «Ωρέ,τι μουστάκια τσιγκκελωτά είν τούτα;» 🙂

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Νοέμβριος 27, 2013 @ 11:20 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: