Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτώβριος 3, 2008

Δυνάμεις τριγωνικού πίνακα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:26 μμ

Ο κάτω τριγωνικός n\times n πίνακας A έχει μονάδες πάνω στη διαγώνιο (A_{ii}=1,\ i=1,2,\ldots,n) και έχει την ιδιότητα ότι όλες του οι δυνάμεις έχουν στοιχεία φραγμένα από μια σταθερά {M>0}, κατ’ απόλυτη τιμή. Δείξτε ότι A = I (ο μοναδιαίος πίνακας).

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Με επαγωγή στο ν. Για ν =2:
    A=\left( \begin{array}{c c} 1 & 0 \\ a & 1 \end{array} \right)
    A^{k}= \left( \begin{array}{c c} 1 & 0 \\ ka & 1 \end{array} \right)
    και εύκολα προκύπτει ότι
    a=0
    Έστω ότι ισχύει μέχρι ν-1, και έστω Α πίνακας ν επί ν. Τον χωρίζω σε 4 υποπίνακες
    A=\left( \begin{array}{c c} B & O \\ C & 1 \end{array} \right)
    έτσι ώστε ο Β να είναι ένας ν-1 επί ν-1 πίνακας, ο Ο η μηδενική στήλη με ν-1 στοιχεία, ο C η τελευταία γραμμή του Α με ν-1 στοιχεία, και 1 το στοιχείο 1.
    A^{k}=\left( \begin{array}{c c} {B^{k}} & O \\ {\displaystyle\sum_{i=0}^{k}AB^{i}} & 1 \end{array} \right)
    Για τον B ισχύει η επαγωγική υπόθεση, άρα Β ο μοναδιαίος. Τότε \displaystyle\sum_{i=0}^{k}{AB^{i}}=kA φραγμένος για κάθε κ, άρα μηδενικός.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από halifaxpier — Οκτώβριος 14, 2008 @ 11:03 μμ

  2. (διόρθωση)
    Με επαγωγή στο ν. Για ν =2:
    A=\left( \begin{array}{c c} 1 & 0 \\ a & 1 \end{array} \right)
    A^{k}= \left( \begin{array}{c c} 1 & 0 \\ ka & 1 \end{array} \right)
    και εύκολα προκύπτει ότι
    a=0
    Έστω ότι ισχύει μέχρι ν-1, και έστω Α πίνακας ν επί ν. Τον χωρίζω σε 4 υποπίνακες
    A=\left( \begin{array}{c c} B & O \\ C & 1 \end{array} \right)
    έτσι ώστε ο Β να είναι ένας ν-1 επί ν-1 πίνακας, ο Ο η μηδενική στήλη με ν-1 στοιχεία, ο C η τελευταία γραμμή του Α με ν-1 στοιχεία, και 1 το στοιχείο 1.
    A^{k}=\left( \begin{array}{c c} {B^{k}} & O \\ {\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}CB^{i}} & 1 \end{array} \right)
    Για τον Β ισχύει η επαγωγική υπόθεση, άρα Β ο μοναδιαίος. Τότε \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}{CB^{i}}=kC φραγμένος για κάθε κ, άρα ο C μηδενικός.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από halifaxpier — Οκτώβριος 14, 2008 @ 11:16 μμ

  3. Πολύ ωραία.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτώβριος 15, 2008 @ 8:20 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: