Προβλήματα Μαθηματικών

Σεπτεμβρίου 29, 2008

Τριγωνομετρία

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 11:00 μμ

Δείξτε ότι αν η γωνία \theta είναι ρητό πολλαπλάσιο του 2\pi τότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της (\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta) είναι αλγεβρικοί αριθμοί (είναι δηλαδή ρίζες πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.) Ποιό είναι το ημίτονο των 18 μοιρών;

Advertisements

7 Σχόλια »

  1. Ας είναι \theta =\frac{p}{q}2 \pi,p,q \in Z. Τότε q \theta =2p \pi άρα \sin q \theta =0. Άλλα είναι γνωστό ότι \sin q \theta είναι πολυώνυμο του \sin \thetaμε ακέραιους συντελεστες. q.e.d. Ομοίως για τα \cos \theta, \tan \theta.
    Το \sin18 υπολογίζεται εύκολα αν παρατηρήσουμε ότι \theta=18 2 \theta +3 \theta =90 αρα \sin2\theta =\cos 3 \theta etc.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από magkosa — Σεπτεμβρίου 30, 2008 @ 2:47 μμ

  2. Σχεδόν… Ποιό πολυώνυμο του \sin\theta με ακέραιους συντελεστές είναι το \sin 2\theta ή ποιό πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές του \tan\theta είναι το \tan 3\theta για παράδειγμα; Είσαι βέβαια πολύ κοντά. Σε ό,τι αφορά στο ημίτονο των 18 μοιρών σωστή είναι η παρατήρησή σου αλλά πες μας και το αποτέλεσμα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Σεπτεμβρίου 30, 2008 @ 5:19 μμ

  3. Xaxaxaxaxa

    Teleytaio mathima gia ptyxio…Algevriki Theoria Arithmon 3o thema…To eixa lisei tote alla dystixos den to thimame tha katso ligo na psaxo ta adita tou egefalou mou mpas kai thimitho tin lysi…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κλάδος Μανούσος — Οκτώβριος 8, 2008 @ 10:41 μμ

  4. Συμπληρώνω την υπόδειξη από το σχόλιο (2)..

    Έστω \theta = \frac{p}{q} 2\pi .
    Όπως ξέρουμε \cos (2 x) = \cos^2(x) - 1
    και γενικότερα \cos (n\cdot x) = 2 \cos ((n-1)x)\cdot \cos (x) - \cos ((n-2)x) .
    Τον τελευταίο τύπο τον έκλεψα από το ακόλουθο site:

    http://mathworld.wolfram.com/TrigonometricAdditionFormulas.html

    Η τελευταία σχέση δίδει ότι το \cos (n\cdot x) μπορεί να γραφεί σαν
    τη σύνθεση του \cos (x) με ένα πολυώνυμο, P(\cdot) με ακέραιους συντελεστές,
    δηλ. \cos (n \cdot x) = P(\cos (x)) .
    Τώρα, από τη σχέση q\theta = p 2\pi παίρνουμε
    \pm 1 = \cos (q \cdot \theta)  = P(\cos (\theta))
    που σημαίνει ότι \cos (\theta) είναι αλγεβρικός.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Μαρτίου 9, 2012 @ 8:23 μμ

  5. Να αναφέρω ότι τα πολυώνυμα P που αναφέρει ο henk&christos,που έχουν την ιδιότητα P(\cos(x))=\cos(nx) ονομάζονται πολυώνυμα Chebyshev 1ου είδους και ορίζονται αναδρομικά ως

    T_0(x)=1,\;\;T_1(x)=x, T_n(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x) (Ισχύει T_n(\cos(x))=\cos(nx)).
    http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials

    Τώρα συνεχίζοντας το προηγούμενο σχόλιο ο henk&christos έδειξε ότι οι \cos(\theta) με \theta ρητό πολλαπλάσιο του \pi είναι αλγεβρικοί αριθμοί (σαν ρίζες των T_n(x)\pm 1). Αφού \sin(x)=\cos(\frac{\pi}{2}-x) έπεται ότι οι \sin(\theta) είναι αλγεβρικοί ακέραιοι και επειδή το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι σώμα οι \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} είναι αλγεβρικοί ακέραιοι όπου \theta ρητό πολλαπλάσιο του 2\pi.

    Όσο για το \sin(18) από το σχόλιο (1) και τις ταυτότητες \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x) και \cos(3x)= 4\cos^3(x)-3cos(x) προκύπτει ότι το \sin(18) είναι η θετική ρίζα του 4z^2+2z-1 άρα είναι \sin(18)=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Pambos — Μαρτίου 10, 2012 @ 7:40 πμ

  6. (για τους \sin(\theta) \;\; \tan(\theta) )εννοούσα αλγεβρικοί αριθμοί όχι αλγεβρικοί ακέραιοι.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Pambos — Μαρτίου 10, 2012 @ 10:39 πμ

  7. Σωστά.
    Ένας άλλος τρόπος να βρει κανείς τα πολυώνυμα που έχουν ρίζες τους \sin\theta,\cos\theta είναι η ταυτότητα του De Moivre,
    \displaystyle (\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Μαρτίου 10, 2012 @ 11:40 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: