Προβλήματα Μαθηματικών

Σεπτεμβρίου 18, 2008

Υποομάδες των πραγματικών

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 11:50 πμ

Δείξτε ότι αν η G είναι μια προσθετική υποομάδα του \mathbb{R} τότε είτε
G=\alpha\mathbb{Z} για κάποιο \alpha\in\mathbb{R} είτε η G είναι πυκνή στον \mathbb{R} (με τη συνήθη τοπολογία.)

Χρησιμοποιήστε στη συνέχεια αυτό το αποτέλεσμα για να δείξετε ότι αν \frac{\omega}{2\pi}\notin\mathbb{Q} τότε το σύνολο

G=\{m\omega+2n\pi:\ m,n\in\mathbb{Z}\}

είναι πυκνό στον \mathbb{R}. Αυτό το συμπέρασμα ίσως σας βοηθήσει να λύσετε και το πρόβλημα «Στεφάνια«.

Advertisements

6 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Έστω \alpha=\inf\{x>0:\ x\in G\}. Το
    \alpha μπορεί να είναι αυστηρά θετικό οπότε… ή μηδέν οπότε…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Οκτώβριος 4, 2008 @ 2:21 πμ

  2. Στα επομενα θεωρουμε οτι η ομαδα μας G δεν ειναι τετριμμενη. Ετσι υπαρχει μη μηδενικο y στοιχειο της G το οποιο μπορουμε να υποθεσουμε οτι ειναι θετικο αφου y\in G συνεπαγεται οτι -y\in G καθως η G ειναι ομαδα. Συνεχιζοντας εχει νοημα τωρα να θεωρησουμε τον αριθμο a=inf\{x>0:x\in G\}. Υποθετουμε οτι a>0. Τοτε αυτο σημαινει οτι η τομη G\cap (0,a) ειναι κενη και αρα η ομαδα μας G δεν ειναι πυκνη στο \mathbf R. Θα δειξουμε τωρα οτι το a ανηκει στην G. Ας υποθεσουμε οτι δεν ανηκει. Τοτε εξ’ορισμου του a υπαρχει στοιχειο x\in G με a<x<a+\frac{a}{2} και παλι υπαρχει στοιχειο z\in G με a<z<x<a+ \frac{a}{2}. Τοτε ομως εχουμε οτι 0<x-z<a+ \frac{a}{2}-a= \frac{a}{2} και το στοιχειο x-z ανηκει στην ομαδα G αφου και τα δυο αυτα στοιχεια ανηκουν στην ομαδα. Ατοπο. Αρα a\in G. Τωρα ειναι προφανες οτι a\mathbf Z\subseteq G και ας παρουμε ενα x\in G. Εαν υποθεσουμε οτι το στοιχειο αυτο δεν ανηκει στο συνολο a \mathbf Z τοτε επειδη \mathbf R=a \mathbf Z\cup (0,a)\cup (-a,0)\cup... εχουμε οτι υπαρχει φυσικος αριθμος n με na<x<a(n+1) το οποιο συνεπαγεται οτι $latex 0<x-na0$ τοτε G=a \mathbf Z. Μενει ακομη η περιπτωση a=0.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nikos3223 — Δεκέμβριος 13, 2008 @ 11:38 μμ

  3. Στην τελευταια γραμμη κανονικα λεει : το οποιο συνεπαγεται οτι 0<x-na<a και αρα ατοπο. Ετσι αποδειξαμε οτι x\in a\mathbf Z και αρα οτι G=a\mathbf Z.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nikos3223 — Δεκέμβριος 13, 2008 @ 11:43 μμ

  4. Ωραία ως εδώ. Μένει να δείξετε γιατί η G είναι πυκνή αν \alpha=0.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Δεκέμβριος 14, 2008 @ 1:21 πμ

  5. Ας υποθεσουμε τωρα οτι το α=0. Θεωρουμε τυχαιο διαστημα (a,b) της θετικης πραγματικης ευθειας. Ας παρουμε x στην ομαδα μας το οποιο να ικανοποιει τα ακολουθα : x<\frac{b-a}{2} και x<a. Αυτο μπορουμε να το κανουμε αφου το α=0. Διαλεγουμε το μεγιστο φυσικο αριθμο n με την ιδιοτητα nx<a . Τοτε ισχυουν τα επομενα : a\leq(n+1)x και (n+1)x=nx+x<a+\frac{b-a}{2}<b αφου εξ υποθεσεως το a<b. Οποτε βρηκαμε ενα στοιχειο της ομαδας μας το (n+1)x το οποιο να ανηκει στο διαστημα (a,b). Αυτο σημαινει οτι η ομαδα μας ειναι πυκνη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nikos3223 — Σεπτεμβρίου 16, 2009 @ 5:22 πμ

  6. Πολύ σωστά!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Σεπτεμβρίου 17, 2009 @ 12:01 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: