Προβλήματα Μαθηματικών

Σεπτεμβρίου 16, 2008

Άπειρη στο σύνορο

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 10:52 μμ

Για να λύσετε αυτήν την άσκηση πρέπει να ξέρετε κάποια Μιγαδική Ανάλυση (σε προπτυχιακό επίπεδο).

Στον Απειροστικό Λογισμό, η διαφορίσιμη διανυσματική συνάρτηση δυο μεταβλητών

\displaystyle f(x,y)=\left(\frac1{1-x^2-y^2},0\right)

με πεδίο ορισμού τον ανοιχτό μοναδιαίο δίσκο, έχει την ιδιότητα ότι καθώς το σημείο (x,y) πλησιάζει, με οποιονδήποτε τρόπο, το σύνορο του δίσκου, το μέτρο του f(x,y) πάει στο άπειρο. Ισχύει κάτι ανάλογο στην Μιγαδική Ανάλυση; Δηλαδή, αν

\mathbb D=\{z\in\mathbb C:|z|<1\},

είναι αλήθεια ότι υπάρχει αναλυτική συνάρτηση f:\mathbb D\to\mathbb C τέτοια ώστε

\displaystyle \lim_{|z|\to1}|f(z)|=\infty ;

Το \lim παραπάνω σημαίνει ότι για κάθε ακολουθία z_n\in\mathbb D με |z_n|\to1, έχουμε

|f(z_n)|\to\infty.

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Θα κάνω μια απόπειρα αν και η Μιγαδική Ανάλυσή μου είναι σκουριασμένη.

    Αν μια μη σταθερή f έχει άπειρα μηδενικά στον ανοιχτό μοναδιαίο δίσκο τότε αυτά θα πρέπει να έχουν ένα σημείο συσσώρευσης στο σύνορο(και μόνο), οπότε σίγουρα σε εκείνο το σημείο(και σε ένα μικρό διάστημα γύρω του) η f θα είναι φραγμένη.

    Αν η f έχει πεπερασμένο πλήθος μηδενικών στον ανοιχτό μοναδιαίο δίσκο τότε σε έναν δακτύλιο Ann(0,r,1) με r<1 δεν θα μηδενίζεται πουθενά. Η g(z)=\frac{1}{f(z)} είναι μια μερόμορφη συνάρτηση στον ανοιχτό μοναδιαίο δίσκο με μόνους πόλους τα μηδενικά της f(z), επομένως για κάθε κύκλο C(0,R),r<R<1, έχουμε \int_C g(z) = 2\pi i \sum Res(f,x) όπου το άθροισμα είναι πάνω στα πεπερασμένου πλήθους x\in D(0,1) για τα οποία f(x)=0. Συγκεκριμένα, το |\int_C g(z)| είναι σταθερό και μεγαλύτερο του μηδενός, για κάθε C όπως παραπάνω. Όμως επειδή το κάθε C είναι συμπαγές έπεται ότι καθώς η ακτίνα του κύκλου τείνει στο 1, το \sup_{z\in C}|g(z)|\to 0 από την υπόθεση για την f στο σύνορο, άρα |\int_C g(z)|\leq 2\pi \sup_{C}|g(z)|\to 0. Αυτό αντιφάσκει με τα παραπάνω.

    Μάλλον υπάρχει κάποια λύση που δίνει περισσότερες πληροφορίες για το τι πραγματικά κάνει η f στο σύνορο αλλά δε θυμάμαι. Ένας άλλος τρόπος να δείξεις το ζητούμενο φαίνεται νομίζω εύκολα από την κλασική άσκηση ότι η f στέλνει τον ανοιχτό μοναδιαίο δίσκο σε ένα ανοιχτό συνεκτικό σύνολο που δε μπορεί να είναι όλο το \mathbb{C}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Σεπτεμβρίου 22, 2008 @ 3:10 πμ

  2. Μάλλον έκανα λάθος, δεν είναι πλήρης η απόδειξη γιατί η f μπορεί να μην έχει πουθενά μηδενικά, άρα η g να είναι αναλυτική στο δίσκο και τότε δεν υπάρχει αντίφαση όπως θέλω εγώ. Τότε όμως η f(z)-f(0) πχ. δεν δίνει την αντίφαση; Θα το σκεφτώ λίγο καλύτερα και θα δω.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Σεπτεμβρίου 22, 2008 @ 4:09 πμ

  3. Είσαι πολύ κοντά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Σεπτεμβρίου 22, 2008 @ 1:05 μμ

  4. as upo8esoume prwta oti to orio sto sunoro einai mhden kai oxi apeiro .tote h sunarthsh 8a einai sunexhs se oloklhro to disko kai ara apo thn arxh tou megistou mporoume na isxuristoume oti einai h mhdenikh sunarthsh.
    estw twra h sunarthsh ths ekfwnhshs.auth 8a exei peperasmena mhdenika dioti an htan apeira h 8a susorevotan sto eswteriko opote 8a htan h mhdenikh(atopo) h 8a susorevontas sto sunoro ara 8a erxomastan se anti8esh me thn upo8esh oti to orio einai apeiro. Ara mporw na orisw thn g(x)=\frac{h(x)}{f(x)} opou h(x) poluwnumo pou periexei tis rizes mazi me thn pollaplothta tous. H g(x) einai mhdenikh sumfwna me ta prwta pou egrapsa…ara h(x)=0 atopo.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από artnoage — Δεκέμβριος 22, 2008 @ 6:29 πμ

  5. Πολύ σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 22, 2008 @ 12:24 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: