Προβλήματα Μαθηματικών

Σεπτεμβρίου 13, 2008

2008 ρίζες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 2:35 μμ

Υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} δύο φορές παραγωγίσιμη που ικανοποιεί την εξίσωση

\displaystyle f^{''}(x)=g(x)f^{'}(x)+f(x),\ \forall x\in\mathbb{R}

για κάποια συνάρτηση g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, και μηδενίζεται σε ακριβώς 2008 σημεία;

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Ένας τρόπος να ξεκινήσει κανείς θα ήταν να πάρει ένα πολυώνυμο P με 2008 διακριτές ρίζες και να προσπαθήσει να ορίσει
    g=\frac{P^{''}-P}{P^{'}}. Τι πρόβλημα θα είχε αυτό;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Σεπτεμβρίου 29, 2008 @ 10:52 μμ

  2. Έστω μ και ν δυο διαδοχικες ριζες της f, μ<ν. Τότε στο διαστημα (μ,ν) η f διατηρει πρόσημο απειδη ειναι συνεχης και μη μηδενιζομενη. Έστω λοιπον οτι είναι θετική. ‘Αρα θα έχει κάποιο μεγιστο, έστω στο σημείο w που ανήκει στο (μ,ν). Άρα f'(w)=0, και άρα από την εξίσωση που μας δίνεται,
    f»(w)=f(w). Αλλά αφού στο w η f έχει τοπικό μέγιστο τότε f»(w)
    f(w)<=0 άρα άτοπο γιατί το w ανήκει στο (μ,ν) όπου η f θετική. Ομοίως και αν πάρουμε την περίπτωση η f να είναι αρνητική στο διάστημα αυτό.

    Άρα η f δεν μπορεί να έχει δύο διαδοχικές ρίζες, άρα ούτε και 2008.

    Την υπόδειξη δεν την πολυεπιασα, περαν του οτι για καθε χ που δε μηδενίζει την πρώτη παράγωγο μπορούμε να ορίσουμε μια συναρτηση g τέτοια ώστε η εξίσωση να ισχύει πάντα όσες ρίζες και αν έχει η f, οπότε αυτό που έχουμε να εξετάσουμε είναι σε τιμές όπου μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από reddove — Δεκέμβριος 2, 2008 @ 5:12 μμ

  3. Έστω μ και ν δυο διαδοχικες ριζες της f, μ<ν. Τότε στο διαστημα (μ,ν) η f διατηρει πρόσημο απειδη ειναι συνεχης και μη μηδενιζομενη. Έστω λοιπον οτι είναι θετική. ‘Αρα θα έχει κάποιο μεγιστο, έστω στο σημείο w που ανήκει στο (μ,ν). Άρα f'(w)=0, και άρα από την εξίσωση που μας δίνεται,
    f»(w)=f(w). Αλλά αφού στο w η f έχει τοπικό μέγιστο τότε f»(w)<=0 άρα f(w)<=0 άρα άτοπο γιατί το w ανήκει στο (μ,ν) όπου η f θετική. Ομοίως και αν πάρουμε την περίπτωση η f να είναι αρνητική στο διάστημα αυτό.

    Άρα η f δεν μπορεί να έχει δύο διαδοχικές ρίζες, άρα ούτε και 2008.

    Την υπόδειξη δεν την πολυεπιασα, περαν του οτι για καθε χ που δε μηδενίζει την πρώτη παράγωγο μπορούμε να ορίσουμε μια συναρτηση g τέτοια ώστε η εξίσωση να ισχύει πάντα όσες ρίζες και αν έχει η f, οπότε αυτό που έχουμε να εξετάσουμε είναι σε τιμές όπου μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος.

    ΥΓ σόρρυ μπερδεύτηκαν κάτι σύμβολα σαν html

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από reddove — Δεκέμβριος 2, 2008 @ 5:15 μμ

  4. Σωστά. Το νόημα της υπόδειξης ήταν ότι αν προσπαθήσει κανείς να ορίσει την g όπως παραπάνω, αυτή θα απειρίζεται εκεί όπου μηδενίζεται η P^{'}. Ο λόγος είναι αυτός ακριβώς που μας εξήγησες. Ο αριθμητής δεν μηδενίζεται γιατί οι όροι έχουν διαφορετικό πρόσημο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Δεκέμβριος 2, 2008 @ 6:58 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: