Προβλήματα Μαθηματικών

Αύγουστος 31, 2008

Παράγωγος και ολοκλήρωμα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 5:11 μμ

Έστω f:[0,1]\to\mathbb R μια άπειρες φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση, τέτοια ώστε

f(0)=f'(0)=f''(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=\cdots=0.

Δείξτε ότι:

\displaystyle\int_0^1|f(x)|^2\, dx\leq\frac1{2^n}\int_0^1|f^{(n)}(x)|^2\,dx,

για κάθε n\in\mathbb N.

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Από το Θ.Θ.Α.Λ. έχουμε
    f(x) = \int_0^x f'(t)dt=\int_0^1 1_{t\leq x}f'(t)dt
    \leq \sqrt{\int_0^1 1_{t\leq x}dt}\sqrt{\int_0^1 |f'(t)|^2 dt},
    από την Cauchy-Schwartz, άρα

    |f^2(x)| \leq \int_0^1 1_{t\leq x}dt\int_0^1 |f'(t)|^2 dt.

    Ολοκληρώνοντας ως προς x το τελευταίο ολοκλήρωμα βγαίνει απέξω και παίρνουμε

    \int_0^1 |f^2(x)|dx \leq \int_0^1\int_0^1 1_{t\leq x}dt dx \int_0^1 |f'(t)|^2dt.

    Το ολοκλήρωμα \int_0^1\int_0^1 1_{t\leq x}dt dx με μια αλλαγή στη σειρά ολοκλήρωσης φαίνεται πως ισούται με \frac{1}{2} και από εδώ παίρνουμε το αποτέλεσμα για n=1. Το υπόλοιπο προκύπτει επαναλαμβάνοντας αυτό το βήμα συνεχώς λαμβάνοντας υπόψι ότι η συνθήκη f^{(k)}(0)=0 είναι το μόνο πράγμα που χρησιμοποιούμε(για να πάρουμε τον παραπάνω τύπο από το Θ.Θ.Α.Λ.).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Σεπτεμβρίου 2, 2008 @ 12:55 πμ

  2. Πολύ σωστά.

    Θ.Θ.Α.Λ. είναι το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού: Το ολοκλήρωμα της παραγώγου είναι η αρχική συνάρτηση
    \displaystyle\int_a^bf'=f(b)-f(a)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Σεπτεμβρίου 2, 2008 @ 11:41 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: