Προβλήματα Μαθηματικών

Αύγουστος 23, 2008

ΕΡΕΥΝΑ: «Έχετε απατήσει τη/ο σύντροφό σας αυτό το καλοκαίρι;»

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:07 πμ

Το καλοκαίρι έχει σχεδόν τελειώσει για τον πολύ κόσμο κι εσάς σας έχει μόλις προσλάβει μια σοβαρή εταιρεία δημοσκοπήσεων. Ένας μεγάλος πελάτης αυτής της εταιρείας ενδιαφέρεται να εκτιμήσει το ποσοστό του κόσμου που έχει απατήσει το/η σύντροφό του το καλοκαίρι που μας πέρασε.

Η εταιρεία δημοσκοπήσεων έχει μεγάλο πρόβλημα να πραγματοποιήσει αυτή τη δημοσκόπηση. Αν η εταιρεία μπορούσε να μαζέψει ένα τυχαίο δείγμα του κόσμου, π.χ. 10.000 άτομα, σε ένα χώρο, θα μπορούσε εύκολα να τους μοιράσει ανώνυμα ερωτηματολόγια. Οι ερωτούμενοι τότε, καλυπτόμενοι από την ανωνυμία, δε θα είχαν λόγο να απαντήσουν ψέματα και από τις απαντήσεις τους θα προέκυπτε εύκολα η εκτίμηση της πιθανότητας απιστίας.

Όμως το να μαζέψει τόσο κόσμο είναι πολύ ακριβό και αυτή η μέθοδος είναι ανεφάρμοστη. Η εταιρεία δημοσκοπήσεων μπορεί όμως να βγάλει συνεργάτες της έξω οι οποίοι θα μπορούν να σταματάνε τυχαία κόσμο στο δρόμο (ή να επισκέπτονται κόσμο τυχαία στα σπίτια ή τις δουλειές τους) και να τους ρωτάνε. Και πάλι βέβαια, αν σας σταματήσει κάποιος στο δρόμο και σας κάνει τέτοια ερώτηση υπάρχει μεγάλη πιθανότητα ότι δε θα πείτε την αλήθεια (που ξέρετε αν αυτός που σας ρωτάει σας ξέρει ή όχι, κλπ).

  • Προτείνετε ένα τρόπο να συλλέξετε δεδομένα που θα σας οδηγήσουν στη σωστή εκτίμηση της πιθανότητας απιστίας.

Πιο συγκεκριμένα, προτείνετε ένα τρόπο να απαντάει το τυχαίο άτομο μ’ ένα ΝΑΙ ή ΟΧΙ, χρησιμοποιώντας κι ένα νόμισμα το οποίο μπορεί να ρίχνει όσες φορές θέλει και του οποίου το αποτέλεσμα μόνο αυτό το άτομο ξέρει. Από τις απαντήσεις αυτές θα πρέπει να μπορείτε να συνάγετε την εκτίμηση της πιθανότητας αλλά δε θα μπορείτε να βγάλετε συμπέρασμα για τις καλοκαιρινές δραστηριότητες κανενός ερωτούμενου. Επίσης αυτό το τελευταίο θα πρέπει να είναι προφανές στους ερωτούμενους. Υποθέτουμε ότι οι ερωτούμενοι δρουν καλόπιστα και ακολουθούν τις οδηγίες σας.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Μπορεί αυτός που κάνει την δημοσκόπηση να πει στον ερωτώμενο να ρίξει δέκα φορές το κέρμα και αν τύχει και τις δέκα φορές κορώνα τότε να απαντήσει ότι απατά τη γυναίκα του ενώ σε διαφορετική περίπτωση να πει την αλήθεια.
    Έτσι αν κάποιος απαντήσει ότι απατά τη γυναίκα του κανείς δε μπορεί να τον κατηγορήσει ότι όντως το κάνει αφού δεν αποκλείεται η περίπτωση να έτυχε στο κέρμα και τις δέκα φορές κορώνα (μιας και κανείς άλλος δε γνωρίζει τα αποτελέσματα των ρίψεων). Έτσι κανείς δε θα διστάσει να πει την αλήθεια.
    Το τελικό αποτέλεσμα της δημοσκόπησης θα έχει ένα μικρό ποσοστό σφάλματος για τις περιπτώσεις των ατόμων που δεν απατάν τη γυναίκα τους αλλά απάντησαν έτσι επειδή έφεραν δέκα φορές κορώνα. Όμως το ποσοστό αυτό είναι πολύ μικρό και μπορεί να θεωρηθεί αμελητέο. Έτσι τελικά μπορούμε να βρούμε μια καλή εκτίμηση του πόσοι απατούν τη γυναίκα τους και πόσοι όχι.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από steliosdes — Αύγουστος 27, 2008 @ 2:05 πμ

  2. steliosdes

    Πολύ καλή ιδέα και σχεδόν έλυσες το πρόβλημα αλλά νομίζω πως χρειάζεται κάποια βελτίωση: στην υποθετική περίπτωση που κάποιος απαντήσει ότι έχει απατήσει το/η σύζυγό του, και αυτό διαρρεύσει, τότε η μόνη «άμυνα» που έχει είναι να ισχυριστεί ότι του έτυχαν 10 κορώνες. Αυτό συμβαίνει με πιθανότητα 2^{-10} \sim 0.001. Αντε να πείσεις κάποιον να δεχτεί ότι του/της λες αλήθεια αποδεχόμενος ένα τόσο απίθανο γεγονός.

    Υπάρχει πραγματικά λόγος να ρίχνει τόσες φορές κανείς το νόμισμα;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Αύγουστος 27, 2008 @ 10:33 πμ

  3. (Πρόχειρη λύση) Αν είναι κεφάλι τότε λέει ότι ΤΗΝ απάτησε, αν είναι γράμματα τότε ξαναρίχνει κι αν είναι κεφάλι, λέει ότι ΔΕΝ ΤΗΝ απάτησε, διαφορετικά λέει την αλήθεια.
    Το τελικό ποσοστό αυτών που απάτησαν θα είναι >0.5. Έστω Ρ=(0.5+χ). Το χ αντιπροσωπεύει το 1/4 του ποσοστού που ΔΕΝ απάτησε (ή το μισό του μισού αυτών που δεν απάτησαν)…

    Δηλαδή το ποσοστό που απάτησε είναι (1-4χ)

    Θα μπορούσαμε να αποφύγουμε την δεύτερη ρίψη αν δεν μας ένοιαζε να φανερωθεί ότι ΔΕΝ απάτησαν…

    ΥΓ. Ένα πρόχειρο διάγραμμα:

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από woci — Αύγουστος 27, 2008 @ 5:54 μμ

  4. woci:

    Σωστά.

    Επειδή με μπέρδεψαν λίγο οι λογαριασμοί σου τους ξανακάνω. Αν είναι A το ποσοστό αυτών που απάντησαν ΝΑΙ (απάτησαν) και p το πραγματικό ποσοστό αυτών που απάτησαν τότε Α=1/2 + (1/4)p, άρα p=4A-2.

    Η λέξη ποσοστό εδώ πρέπει να ερμηνευθεί ως «η πιθανότητα ένα τυχαίο μέλος του πληθυσμού να έχει την ιδιότητα για την οποία μιλάμε».

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Αύγουστος 28, 2008 @ 12:01 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: