Προβλήματα Μαθηματικών

Αύγουστος 10, 2008

Σταθερά ολοκληρώματα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:05 μμ

Έστω f:[0,1]\to\mathbb R μια συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε

\displaystyle\int_0^1|f|^n=1

για κάθε n\in\mathbb N. Τί μπορείτε να πείτε για την f;

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. I=[0,1]
    \displaystyle \vert f \vert \in L^{p}(I) για κάθε 1\leq p < \infty \Rightarrow \vert f \vert \in L^{\infty}(I)
    \displaystyle \lim_{p \to \infty} \left ( \int_{I}\vert f \vert ^{p}dm \right )^\frac{1}{p}=\ \|f\|_{\infty}=1 \Rightarrow \vert f(x) \vert \leq 1 σ.π.
    Έστω ότι το A=\{x : \vert f(x) \vert <1 \} έχει θετικό μέτρο.
    \displaystyle \int_{I}\vert f \vert = \int_{I\backslash A} \vert f \vert + \int_{A} \vert f \vert < m(I \backslash A) + m(A)=1 άτοπο. Άρα η \vert f \vert ισούται με 1 σ.π. Και αφού η f συνεχής, θα έχω f=1 ή f=-1.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από halifaxpier — Αύγουστος 11, 2008 @ 1:21 πμ

  2. Πολύ σωστά.
    Να μια άλλη στοιχειώδης απόδειξη η οποία δεν χρησιμοποιεί καθόλου θεωρία μέτρου.
    Η |f| πρέπει να είναι μικρότερη ή ίση από 1 γιατί αν |f(x_0)|>1 για κάποιο x_0, τότε θα υπήρχε κάποιο διάστημα J με x_0\in J και κάποιο r>1, έτσι ώστε |f(x)|>r για κάθε x\in J (λόγω συνέχειας). Επομένως
    \displaystyle r^nm(J)\leq\int_0^1|f|^n=1
    για κάθε n (m(J) είναι το μήκος του J), άτοπο διότι r^n\to\infty. Έτσι 1-|f|\geq0 και
    \displaystyle\int_0^1(1-|f|)=0
    άρα, λόγω συνέχειας, |f|=1 ταυτοτικά, συνεπώς f=\pm1, πάλι λόγω συνέχειας.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Αύγουστος 11, 2008 @ 3:29 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: