Οι φυσικοί και οι μηχανικοί μιλάνε συχνά για τη «συνάρτηση δέλτα». Υποτίθεται ότι είναι μια συνάρτηση με την ιδιότητα
για κάθε συνεχή. Υπάρχει αλήθεια τέτοια συνάρτηση; Αν απαντήσετε «ναι» πρέπει βέβαια να δώσετε έναν τύπο…
Οι φυσικοί και οι μηχανικοί μιλάνε συχνά για τη «συνάρτηση δέλτα». Υποτίθεται ότι είναι μια συνάρτηση με την ιδιότητα
για κάθε συνεχή. Υπάρχει αλήθεια τέτοια συνάρτηση; Αν απαντήσετε «ναι» πρέπει βέβαια να δώσετε έναν τύπο…
RSS feed for comments on this post. TrackBack URI
Εδώ θα τοποθετούμε προβλήματα μαθηματικών που θεωρούμε όμορφα. Τα πιο πολλά από αυτά δεν είναι τελείως στοιχειώδη και, κατά κανόνα, απαιτούν κάποιες γνώσεις μαθηματικών που αποκτά κανείς στο Πανεπιστήμιο (ή τουλάχιστον θα έπρεπε ...).
Στα σχόλια κάθε προβλήματος μπορείτε να γράφετε λύσεις, ιδέες, αντιρρήσεις, ερωτήσεις, σχολιασμούς, κλπ.
Αν έχετε κάποιο καλό πρόβλημα που θα θέλατε να αναρτηθεί εδώ στείλτε μας το με e-mail.
Ποιοί συνεισφέρουν προβλήματα:
Themis Mitsis στη Όρια ορίων και η χαρακτηριστικ… | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Όρια ορίων και η χαρακτηριστικ… | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Πόσα παιδιά είναι αγόρια; | |
George Rizopulos στη Μπορείτε να σκοτώσετε τον… | |
Mihalis Kolountzakis στη Μπορείτε να σκοτώσετε τον… | |
George Rizopulos στη Μπορείτε να σκοτώσετε τον… | |
George Rizopulos στη ΕΡΕΥΝΑ: «Έχετε απατήσει τη/ο σ… | |
George Rizopulos στη ΕΡΕΥΝΑ: «Έχετε απατήσει τη/ο σ… | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟ… στη Απλά γραφήματα | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟ… στη Απλά γραφήματα | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟ… στη Απλά γραφήματα |
Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.
Υπόδειξη:
Συνήθως, ελέγχουμε την ορθότητα μιας τέτοιας σχέσης δοκιμάζοντας μια κατάλληλη ακολουθία συναρτήσεων (αν φυσικά υποψιαζόμαστε ότι δεν ισχύει).
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Themis Mitsis — 11 Αυγούστου, 2008 @ 4:00 μμ
Υπόδειξη:
Δοκιμάστε μια ακολουθία αυτής της μορφής.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Themis Mitsis — 29 Αυγούστου, 2008 @ 4:05 μμ
Συγνώμη για πρίν αλλά ήθελα να δώ αν δουλεύει script του LaTeX από κάτω..αλήθεια πως γράφετε μαθηματικούς τύπους?
Λοιπόν στον θέμα μας…όπως έλεγα ο τύπος της συνάρτησης δέλτα η συνάρτηση του dirac ή κρουστική απόκριση είναι ο εξής:
για
για
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κλάδος Μανούσος — 30 Αυγούστου, 2008 @ 1:46 μμ
LaTeX γράφουμε ως εξής:
Πρώτα το σύμβολο $ μετά, κολλητά, τη λέξη latex, μετά τον κώδικα LaTeX, και τέλος πάλι το σύμβολο $.
Τώρα στο θέμα μας. Πράγματι, οι φυσικοί και οι μηχανικοί λένε ότι η είναι μια συνάρτηση με τον τύπο που δίνεις. Το πρόβλημα είναι ότι γι’ αυτήν την έχουμε για όλα τα , και έτσι
γιατί το ολοκλήρωμα δεν εξαρτάται από την τιμή της συνάρτησης σ’ ένα δεδομένο σημείο (ή πιο γενικά σ’ ένα σύνολο «μέτρου μηδέν»), ακόμα κι’ αν η τιμή αυτή είναι . Αυτό μπορείς να το δεις διαισθητικά από το ότι το εμβαδό κάτω από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης η οποία είναι παντού μηδέν εκτός από κάποιο σημείο στο οποίο απειρίζεται, εξακολουθεί να είναι μηδέν.
Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Αυτό βέβαια πρέπει να το δείξετε. Οι φυσικοί και οι μηχανικοί εννοούν κάτι άλλο όταν λένε «συνάρτηση» Dirac (αν το εννοούν…).
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Themis Mitsis — 30 Αυγούστου, 2008 @ 2:55 μμ
Μπορείς να δεις την συνάρτηση δ ώς το ουδέτερο στοιχείο της συνέλιξης…
Οι μηχανικοί χρησιμοποιούν την συνάρτηση δ στα μαύρα κουτιά όπου δεν ξέρεις την απόκριση του συστηματός σου και βάζωντας ως είσοδο την δ σου βγάζει την απόκρυση του συστήματος πάντα φυσικά με την πράξη της συνέλιξης…
Τώρα αν σκεφτεί κανείς πως η συνέλειξη αν περάσει μέσα από τον μετασχηματισμό fourier γίνεται πολλαπλασιασμός ίσως να μπορούσαμε να την προσεγγίσουμε από εκεί…δηλαδή…
έχουμε την δ και την περνάμε από μετασχηματισμό fourier…αυτό που πέρνουμε είναι η μονάδα.
Αν κατάλαβα καλά το ερώτημα είναι αν η δ είναι συνάρτηση ή όχι?
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κλάδος Μανούσος — 30 Αυγούστου, 2008 @ 3:14 μμ
Η είναι ακριβώς ένα μέτρο ο μετασχηματισμός Fourier του οποίου είναι η σταθερή συνάρτηση 1. Αυτό που πρέπει να δείξεις είναι ότι δεν είναι συνάρτηση. Δηλαδή αν δεχτείς ότι η είναι συνάρτηση και ότι η σχέση
ισχύει για κάθε συνεχή , τότε θα καταλήξεις σε άτοπο.
Μια ιδέα είναι στη θέση της να βάλεις τις της υπόδειξης. Σ’ αυτή την περίπτωση δεν χρειάζονται γνώσεις ανάλυσης Fourier ή θεωρίας μέτρου.
Για μια εναλλακτική απόδειξη, μπορείς να χρησιμοποιήσεις αυτό ακριβώς που παρατήρησες. Ο μετασχηματισμός Fourier μιας συνάρτησης δεν μπορεί να είναι σταθερός, γιατί πρέπει, από το λήμμα Riemann-Lebesgue, να τείνει στο μηδέν καθώς το τείνει στο .
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Themis Mitsis — 30 Αυγούστου, 2008 @ 3:37 μμ
Καθώς έψαχνα για την συνάρτηση δέλτα βρήκα το εξής
«Despite its name, the delta function is not truly a function, at least not a usual one with domain in reals. For example, the objects and are equal everywhere except at yet have integrals that are different. According to Lebesgue integration theory, if and are functions such that almost everywhere, then is integrable if and only if is integrable and the integrals of and are identical. Rigorous treatment of the Dirac delta requires measure theory or the theory of distributions.»
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Κλάδος Μανούσος — 1 Σεπτεμβρίου, 2008 @ 11:19 μμ
Το είναι το εξής μέτρο με πεδίο ορισμού το δυναμοσύνολο του :
αν
αν
Όλες οι πραγματικές συναρτήσεις είναι μετρήσιμες ως προς αυτό το μέτρο και το ολοκλήρωμά τους είναι ακριβώς η τιμή τους στο 0:
Φυσικά, τίποτα από αυτά δεν χρειάζεται για να λύσετε την άσκηση…
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Themis Mitsis — 2 Σεπτεμβρίου, 2008 @ 12:32 μμ
Υπόδειξης Συνέχεια:
Οι της υπόδειξης έχουν τύπο
για
για
Έτσι, αν υπήρχε συνάρτηση με την ιδιότητα που απαιτεί το πρόβλημα θα είχαμε
Πως πρέπει να συνεχίσετε για να καταλήξετε σε άτοπο;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Themis Mitsis — 7 Σεπτεμβρίου, 2008 @ 4:39 μμ
Αφού το αριστερό μέλος υπάρχει, θα πρέπει να υπάρχει και το δεξιό. Δηλαδή θα πρέπει να δείξουμε ότι το ολοκλήρωμα
συγκλίνει. Αν δεν συγκλίνει τότε το ολοκλήρωμα δεν υπάρχει και άρα δεν υφίσταται τέτοια συνάρτηση…
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Christian — 15 Νοεμβρίου, 2010 @ 8:49 μμ
Το ολοκλήρωμα πράγματι συγκλίνει. Γιατί όμως;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Themis Mitsis — 15 Νοεμβρίου, 2010 @ 9:13 μμ