Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουλίου 31, 2008

Η συνάρτηση δέλτα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 12:00 πμ

Οι φυσικοί και οι μηχανικοί μιλάνε συχνά για τη «συνάρτηση δέλτα». Υποτίθεται ότι είναι μια συνάρτηση \delta με την ιδιότητα

\displaystyle\int_0^1f(x)\delta(x)\, dx=f(0)

για κάθε f:[0,1]\to\mathbb R συνεχή. Υπάρχει αλήθεια τέτοια συνάρτηση; Αν απαντήσετε «ναι» πρέπει βέβαια να δώσετε έναν τύπο…

Advertisements

11 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Συνήθως, ελέγχουμε την ορθότητα μιας τέτοιας σχέσης δοκιμάζοντας μια κατάλληλη ακολουθία συναρτήσεων f_n (αν φυσικά υποψιαζόμαστε ότι δεν ισχύει).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Αύγουστος 11, 2008 @ 4:00 μμ

  2. Υπόδειξη:

    Δοκιμάστε μια ακολουθία f_n αυτής της μορφής.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Αύγουστος 29, 2008 @ 4:05 μμ

  3. Συγνώμη για πρίν αλλά ήθελα να δώ αν δουλεύει script του LaTeX από κάτω..αλήθεια πως γράφετε μαθηματικούς τύπους?

    Λοιπόν στον θέμα μας…όπως έλεγα ο τύπος της συνάρτησης δέλτα η συνάρτηση του dirac ή κρουστική απόκριση είναι ο εξής:

    \delta(t)=\infty για t=0
    \delta(t)=0 για t\ne0

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κλάδος Μανούσος — Αύγουστος 30, 2008 @ 1:46 μμ

  4. LaTeX γράφουμε ως εξής:

    Πρώτα το σύμβολο $ μετά, κολλητά, τη λέξη latex, μετά τον κώδικα LaTeX, και τέλος πάλι το σύμβολο $.

    Τώρα στο θέμα μας. Πράγματι, οι φυσικοί και οι μηχανικοί λένε ότι η \delta είναι μια συνάρτηση με τον τύπο που δίνεις. Το πρόβλημα είναι ότι γι’ αυτήν την \delta έχουμε f(t)\delta(t)=0 για όλα τα t\ne0, και έτσι

    \displaystyle\int_0^1f\delta=0,

    γιατί το ολοκλήρωμα δεν εξαρτάται από την τιμή της συνάρτησης σ’ ένα δεδομένο σημείο (ή πιο γενικά σ’ ένα σύνολο «μέτρου μηδέν»), ακόμα κι’ αν η τιμή αυτή είναι \infty. Αυτό μπορείς να το δεις διαισθητικά από το ότι το εμβαδό κάτω από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης η οποία είναι παντού μηδέν εκτός από κάποιο σημείο στο οποίο απειρίζεται, εξακολουθεί να είναι μηδέν.

    Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Αυτό βέβαια πρέπει να το δείξετε. Οι φυσικοί και οι μηχανικοί εννοούν κάτι άλλο όταν λένε «συνάρτηση» Dirac (αν το εννοούν…).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Αύγουστος 30, 2008 @ 2:55 μμ

  5. Μπορείς να δεις την συνάρτηση δ ώς το ουδέτερο στοιχείο της συνέλιξης…

    Οι μηχανικοί χρησιμοποιούν την συνάρτηση δ στα μαύρα κουτιά όπου δεν ξέρεις την απόκριση του συστηματός σου και βάζωντας ως είσοδο την δ σου βγάζει την απόκρυση του συστήματος πάντα φυσικά με την πράξη της συνέλιξης…

    Τώρα αν σκεφτεί κανείς πως η συνέλειξη αν περάσει μέσα από τον μετασχηματισμό fourier γίνεται πολλαπλασιασμός ίσως να μπορούσαμε να την προσεγγίσουμε από εκεί…δηλαδή…
    έχουμε την δ και την περνάμε από μετασχηματισμό fourier…αυτό που πέρνουμε είναι η μονάδα.

    Αν κατάλαβα καλά το ερώτημα είναι αν η δ είναι συνάρτηση ή όχι?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κλάδος Μανούσος — Αύγουστος 30, 2008 @ 3:14 μμ

  6. Η \delta είναι ακριβώς ένα μέτρο ο μετασχηματισμός Fourier του οποίου είναι η σταθερή συνάρτηση 1. Αυτό που πρέπει να δείξεις είναι ότι δεν είναι συνάρτηση. Δηλαδή αν δεχτείς ότι η \delta είναι συνάρτηση και ότι η σχέση

    \displaystyle \int_0^1f\delta=f(0)

    ισχύει για κάθε συνεχή f, τότε θα καταλήξεις σε άτοπο.
    Μια ιδέα είναι στη θέση της f να βάλεις τις f_n της υπόδειξης. Σ’ αυτή την περίπτωση δεν χρειάζονται γνώσεις ανάλυσης Fourier ή θεωρίας μέτρου.

    Για μια εναλλακτική απόδειξη, μπορείς να χρησιμοποιήσεις αυτό ακριβώς που παρατήρησες. Ο μετασχηματισμός Fourier μιας συνάρτησης δεν μπορεί να είναι σταθερός, γιατί πρέπει, από το λήμμα Riemann-Lebesgue, να τείνει στο μηδέν καθώς το x τείνει στο \pm \infty.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Αύγουστος 30, 2008 @ 3:37 μμ

  7. Καθώς έψαχνα για την συνάρτηση δέλτα βρήκα το εξής

    «Despite its name, the delta function is not truly a function, at least not a usual one with domain in reals. For example, the objects f(x) = \delta(x) and g(x) = 0 are equal everywhere except at x = 0 yet have integrals that are different. According to Lebesgue integration theory, if f and g are functions such that f = g almost everywhere, then f is integrable if and only if g is integrable and the integrals of f and g are identical. Rigorous treatment of the Dirac delta requires measure theory or the theory of distributions.»

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κλάδος Μανούσος — Σεπτεμβρίου 1, 2008 @ 11:19 μμ

  8. Το \delta είναι το εξής μέτρο με πεδίο ορισμού το δυναμοσύνολο του \mathbb R:

    \delta(A)=0 αν 0\notin A
    \delta(A)=1 αν 0\in A

    Όλες οι πραγματικές συναρτήσεις είναι μετρήσιμες ως προς αυτό το μέτρο και το ολοκλήρωμά τους είναι ακριβώς η τιμή τους στο 0:

    \displaystyle\int\limits_{\mathbb R}f\, d\delta=\int\limits_{\{0\}}f\, d\delta=f(0)\delta(\{0\})=f(0).

    Φυσικά, τίποτα από αυτά δεν χρειάζεται για να λύσετε την άσκηση…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Σεπτεμβρίου 2, 2008 @ 12:32 μμ

  9. Υπόδειξης Συνέχεια:

    Οι f_n της υπόδειξης έχουν τύπο

    f_n(t)=n-n^2t για 0\leq t\leq 1/n,
    f_n(t)=0 για 1/n\leq t\leq 1.

    Έτσι, αν υπήρχε συνάρτηση \delta με την ιδιότητα που απαιτεί το πρόβλημα θα είχαμε

    \displaystyle n=f_n(0)=\int_0^{1/n}(n-n^2t)\delta(t)\, dt.

    Πως πρέπει να συνεχίσετε για να καταλήξετε σε άτοπο;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Σεπτεμβρίου 7, 2008 @ 4:39 μμ

  10. Αφού το αριστερό μέλος υπάρχει, θα πρέπει να υπάρχει και το δεξιό. Δηλαδή θα πρέπει να δείξουμε ότι το ολοκλήρωμα
    \int^{1/n}_{0}(n-n^{2} t) \delta (t) dt συγκλίνει. Αν δεν συγκλίνει τότε το ολοκλήρωμα δεν υπάρχει και άρα δεν υφίσταται τέτοια συνάρτηση…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christian — Νοέμβριος 15, 2010 @ 8:49 μμ

  11. Το ολοκλήρωμα πράγματι συγκλίνει. Γιατί όμως;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Νοέμβριος 15, 2010 @ 9:13 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: