Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουλίου 22, 2008

Όγκος και Εμβαδό χωρίς Πράξεις

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 3:06 πμ

Δείξτε ότι το εμβαδό της επιφάνειας της μοναδιαίας σφαίρας (στον 3-διάστατο χώρο) είναι ίσο με 3 φορές τον όγκο της μοναδιαίας μπάλας, χωρίς να υπολογίσετε αυτές τις ποσότητες.

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Ο όγκος της μοναδιαίας μπάλας είναι το τριπλό ολοκλήρωμα της σταθερής
    συνάρτησης 1 πάνω στη μοναδιαία μπάλα.

    Το εμβαδό της επιφάνειας της μοναδιαίας σφαίρας είναι το επιφανειακό ολοκλήρωμα της σταθερής συνάρτησης 1 πάνω στην επιφάνεια της μοναδιαίας σφαίρας.

    Υπάρχουν τουλάχιστο δυο τρόποι να συσχετίσετε αυτά τα δυο ολοκληρώματα. Τουλάχιστο ένας από τους δυο γίνεται σε κάθε μάθημα Απειροστικού Λογισμού πολλών μεταβλητών.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουλίου 30, 2008 @ 4:30 μμ

  2. Υπόδειξης Συνέχεια:

    Σας λέει κάτι το θεώρημα του Gauss (ή θεώρημα της Απόκλισης);

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Αύγουστος 30, 2008 @ 7:56 μμ

  3. Έστω f:x^2+y^2+z^2=1 η συνάρτηση της μοναδιαίας σφαίρας στον χώρο. Ας υπολογίσουμε το επιφανειακό ολοκλήρωμα της. Για να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Gauss θα πρέπει να γράψουμε την f ως το εξής εσωτερικό γινόμενο f=F\cdot n_0 όπου n_0 το κάθετο διάνυσμα της σφαίρας προς τα έξω. Επειδή είναι n_0=x\bar{x_0}+y\bar{y_0}+z\bar{z_0} η μοναδιαία κάθετος της σφαίρας προς τα έξω αφού
    |n_0|^2=x^2+y^2+z^2=1,
    αν θεωρήσουμε ως F=x\bar{x_0}+y\bar{y_0}+z\bar{z_0} τότε προκύπτει f=x^2+y^2+z^2=F\cdot n_0.

    Από το θεώρημα του Gauss παίρνουμε

    \iint_{S}f ds=\iint_{S}(F\cdot n_0 ds=\iiint_{D}divFds

    όπου S:x^2+y^2+z^2=1 η επιφάνεια της μοναδιαίας σφαίρας και D: x^2+y^2+z^2\le 1 η μοναδιαία σφαίρα.

    Επειδή divF=3 έχουμε

    \iint_{S}f ds=\iiint_{D}3ds=3 \iiint_{D}ds

    όπου \iint_{S}f ds το εμβαδό της επιφάνειας της μοναδιαίας σφαίρας και \iiint_{D}ds ο όγκος της μοναδιαίας μπάλας

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κλάδος Μανούσος — Σεπτεμβρίου 1, 2008 @ 2:02 πμ

  4. Πολύ σωστά.

    Γενικότερα, αν u_n είναι ο «όγκος» της n-διαστάτης μπάλας, και \omega_{n-1} το «εμβαδό» της (n-1)-διάστατης σφαίρας, τότε

    \omega_{n-1}=nu_n.

    Αυτό μπορείτε, εναλλακτικά, να το δείτε αν χρησιμοποιήσετε «πολικές συντεταγμένες» σε πολλές μεταβλητές:

    \displaystyle\int\limits_{\mathbb R^n}f=\int_0^\infty r^{n-1}\int\limits_{S^{n-1}}f(r\zeta)\, d\zeta\, dr,

    όπου S^{n-1} είναι η επιφάνεια της μοναδιαίας σφαίρας και f η χαρακτηριστική συνάρτηση της μπάλας .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Σεπτεμβρίου 1, 2008 @ 11:51 πμ

  5. Σχετικά με τη λύση που έδωσε ο Μανούσος, ίσως αρκετοί αναγνώστες να μην ξέρουν το θεώρημα του Gauss. Ας το δούμε λοιπόν.

    Αν \overrightarrow{\mathbf F}:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 είναι ένα συνεχώς διαφορίσιμο διανυσματικό πεδίο, τότε

    \displaystyle\iiint\limits_A\mathrm{div}\, \overrightarrow{\mathbf F}=\iint\limits_{\partial A}\overrightarrow{\mathbf F}\cdot\overrightarrow{ \mathbf n},

    όπου A ένα «φυσιολογικό» χωρίο με όγκο, \partial A το σύνορο του A (δηλαδή μια επιφάνεια), \overrightarrow{\mathbf n}(x,y,z) το μοναδιαίο, κάθετο διάνυσμα στο \partial A στο σημείο (x,y,z)\in\partial  A, και \mathrm{div}\, \overrightarrow{\mathbf F} είναι η απόκλιση του \overrightarrow{\mathbf F}, δηλαδή αν \overrightarrow{\mathbf F}=(f_1,f_2,f_3), τότε

    \displaystyle \mathrm{div}\, \overrightarrow{\mathbf F}=\frac{\partial f_1}{\partial x}+\frac{\partial f_2}{\partial y}+\frac{\partial f_3}{\partial z}.

    Έτσι, στην περίπτωση της άσκησης:

    A είναι η μπάλα.
    \partial A είναι η επιφάνεια της σφαίρας.
    \overrightarrow{\mathbf F}(x,y,z)=(x,y,z).
    \overrightarrow{\mathbf n}(x,y,z)=(x,y,z).
    \mathrm{div}\, \overrightarrow{\mathbf F}=3.
    \overrightarrow{\mathbf F}\cdot \overrightarrow{\mathbf n}=1.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Σεπτεμβρίου 1, 2008 @ 4:27 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: