Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουλίου 12, 2008

Ακολουθία τετραγώνων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 11:18 πμ

Θεωρήστε την ακολουθία \{x_n\}, με x_0=x_1=1 και x_{n+1}=7x_n-x_{n-1}-2 για n\in\mathbb{N}. Δείξτε ότι όλοι οι όροι της είναι τετράγωνα ακεραίων.

Advertisements

12 Σχόλια »

  1. Αυτό το πρόβλημα λύνετε εύκολα αν
    προσέξουμε τη λέξη «όλοι». Υποδεικνύει ότι
    μάλλον πρέπει να χρησιμοποιήσουμε επαγωγή.

    Οι ρίζες των 10 πρώτων όρων της ακολουθίας είναι
    1, 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, 1597

    Οι ρίζες των 18 πρώτων όρων της ακολουθίας του
    Fibonacci είναι
    1, 1, [2], 3, [5], 8, [13], 21, [34], 55, [89],
    144, [233], 377, [610], 987, [1597], 2584

    Από τον 3ο όρο και μετά φαίνετε ότι η
    ακολουθία έχει όρους της Fibonacci.
    Θεωρώντας ότι οι ακολουθίες μας
    ξεκινάνε από τον 3ο όρο με n=1, κάθε όρος
    της ακολουθίας μας είναι ο F[2*n-1]^2.
    Από δω και πέρα επαγωγή.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial — Αύγουστος 5, 2008 @ 8:11 μμ

  2. Σωστή η παρατήρησή σου ότι οι όροι της ακολουθίας μας είναι τα τετράγωνα των άρτιων (αν F_0=F_1=1) όρων της ακολουθίας Fibonacci. Μένει όμως να αποδειχθεί!
    Το επαγωγικό βήμα που αναφέρεις δεν είναι τετριμένο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Αύγουστος 5, 2008 @ 10:41 μμ

  3. Ναι είχα την εντύπωση ότι ήταν προφανές.

    Λοιπόν έστω F[0]=F[1]=1 και F[n]=F[n-1]+F[n-2]
    για n>=2 η ακολουθία Fibonacci.

    Ελέγχουμε εύκολα ότι x[1]=F[0], x[2]=F[2].

    Η επαγωγική μας υπόθεση λέει ότι:
    x[n]=F[2n-2]^2 για όλα τα 2<=n<=k.

    Τώρα x[k+1]=7x[k]-x[k-1]-2
    Παρατηρούμε ότι ο όρος -2 δημιουργεί πρόβλημα
    αφού η σχέση x[k+1]=F[2k]^2 που θέλουμε
    να δείξουμε δεν πρέπει να έχει κανένα
    σταθερό όρο.
    Αρα ελέγχουμε επιπλέον ότι x[3]=F[4]
    και γράφουμε:
    x[k+1]=7*F[2k-2]^2-F[2k-4]^2-2
    x[k] =7*F[2k-4]^2-F[2k-6]^2-2

    Αφαιρούμε κατά μέλη και παίρνουμε:
    x[k+1]-x[k]=7F[2k-2]^2-8F[2k-4]^2+F[2k-6]^2

    ή ισοδύναμα:
    x[k+1]=8F[2k-2]^2-8F[2k-4]^2+F[2k-6]^2

    Για να έχουμε κάποια ελπίδα να δείξουμε
    αυτό που θέλουμε, πρέπει να εκφράσουμε
    τον όρο F[2k-6] σε σχέση με τους
    F[2k-2] και F[2k-4] και μόνο.
    Η ίδια σχέση με τα F[2k-2] και F[2k-4] θα μας
    δώσει το F[2k].

    Αρά γράφουμε:
    F[k+2]=F[k+1]+F[k]
    F[k+1]=F[k]+F[k-1]
    F[k]=F[k-1]+F[k-2]

    Κατά μέλη προσθέτουμε τις 2 πρώτες και
    αφαιρούμε την τρίτη οπότε παίρνουμε:
    F[k+2]=3F[k]-F[k-2]

    ή ισοδύναμα:
    F[k-2]=3F[k]-F[k+2]

    Αρά F[2k-6]=3F[2k-4]-F[2k-2]
    Αντικάθιστούμε το παραπάνω στην
    έκφραση για το x[k+1] και παίρνουμε
    τελικά:
    x[k+1]=(3F[2k-2]-F[2k-4])^2
    δηλαδή:
    x[k+1]=F[2k]^2

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial — Αύγουστος 7, 2008 @ 7:15 μμ

  4. Σωστά. Επίσης η αναδρομική σχέση
    \displaystyle x_{n+1}=7x_n-x_{n-1}+2
    με τις κατάλληλες αρχικές συνθήκες παράγει τα τετράγωνα των υπόλοιπων όρων της ακολουθίας Fibonacci.

    Να μια ακόμη απόδειξη: δείτε επαγωγικά ότι \displaystyle x_{n+1}x_{n-1}=(x_n+1)^2. Πράγματι, για n=1 ελέγχεται εύκολα, ενώ\displaystyle x_{n+1}x_{n-1}=(7x_n-x_{n-1}-2)x_{n-1} \displaystyle =7x_n x_{n-1}+1-(1+x_{n-1})^2. Από την επαγωγική υπόθεση αυτό είναι ίσο με \displaystyle (7x_{n-1}-x_{n-2})x_n+1 \displaystyle =(x_n+2)x_n+1=(1+x_n)^2. Είναι εύκολο να δείτε τώρα από τον αναδρομικό ορισμό ότι \sqrt{x_{n+1}}=3\sqrt{x_n}-\sqrt{x_{n-1}} και επαγωγικά ότι ο \sqrt{x_n} είναι ακέραιος για κάθε n.

    ΝΕΟ ΕΡΩΤΗΜΑ

    Δεν είναι δύσκολο να δει κανείς πως η ακολουθία Fibonacci δεν μπορεί να οριστεί με μια γραμμική αναδρομική σχέση πρώτης τάξης. Χρησιμοποιώντας τα προαναφερόμενα βρείτε μια
    μη γραμμική αναδρομική σχέση πρώτης τάξης
    \displaystyle x_{n+1}=f(n,x_n)
    που ορίζει την ακολουθία Fibonacci.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Αύγουστος 8, 2008 @ 5:43 μμ

  5. Ψάχνουμε μια σχέση που δίνει εναλλάξ
    περιττούς-άρτιους όρους της Fibonacci ή μια σχέση
    που δίνει άρτιους όρους για κάποιες
    αρχικές συνθήκες και περιττούς για κάποιες
    άλλες?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial — Αύγουστος 9, 2008 @ 3:32 πμ

  6. To πρώτο είχα στο μυαλό μου αλλά γιατί όχι και τα δύο?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Αύγουστος 10, 2008 @ 6:14 πμ

  7. Πράγματι η σχέση
    x_{n+1}=7x_n-x_{n-1}+2
    που αναφέρετε με αρχικές συνθήκες
    x_0=0, x_1=1
    δίνει τα τετράγωνα των υπόλοιπων όρων της
    Fibonnaci.
    Τώρα με επαγωγή δείχνουμε με παρόμοιο
    τρόπο ότι:
    x_{n+1}x_{n-1}=(x_n-1)^2
    Και στις δύο όμως ακολουθίες οι όροι
    τους είναι τέλεια τετράγωνα
    και αντιστοιχούν στη μία περίπτωση
    στους όρους της Fibonacci με άρτιο δείκτη
    και στην άλλη περίπτωση στους όρους
    με περιττό δείκτη. Αρα από τις:
    x_{n+1}x_{n-1}=(x_n-1)^2
    και
    x_{n+1}x_{n-1}=(x_n+1)^2
    συμπεραίνουμε αντίστοιχα ότι:
    F_{2n+1}F_{2n-1}=F_{2n}^2-1
    F_{2n+2}F_{2n}=F_{2n+1}^2+1
    Εικάζουμε λοιπόν για όλους τους όρους
    της Fibonacci ότι:
    F_{n+1}F_{n-1}=F_n+(-1)^n
    Για n=1 ελέγχετε εύκολα.
    Υπολογίζουμε:
    F_{n+2}F_n=(F_{n+1}+F_n)F_n
    Από την επαγωγική υπόθεση αυτό είναι ίσο με
    F_{n+1}F_n+F_{n+1}F_{n-1}-(-1)^n=
    F_{n+1}(F_n+F_{n-1})-(-1)^n=
    F_{n+1}^2+(-1)^{n+1}

    Χρησιμοποιώντας τώρα την παραπάνω σχέση και
    την F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}
    καταλήγουμε σε τριώνυμο του οποίου
    η λύση:
    F_{n}=\frac{F_{n-1}+\sqrt{5F_{n-1}^2-4(-1)^n}}{2}
    με F_0=1 δίνει όλους τους όρους της
    Fibonacci (εκτός από τον πρώτο).

    Η άλλη λύση απορρίπτεται γιατί παράγει σταθερή
    ακολουθία.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial — Αύγουστος 10, 2008 @ 11:38 πμ

  8. Διόρθωση: H τελευταία ισότητα έπρεπε να
    γράφει F_1=1. Ετσι η Fibonacci ορίζεται ως:
    F_0=1
    F_1=1
    F_{n}=\frac{F_{n-1}+\sqrt{5F_{n-1}^2-4(-1)^n}}{2}, n\geq{2}

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial — Αύγουστος 10, 2008 @ 11:52 πμ

  9. Μία ακόμη διόρθωση:
    Η υπόθεση που αποδεικνύω επαγωγικά είναι η:
    F_{n+1}F_{n-1}=F_n^2+(-1)^n
    και όχι η:
    F_{n+1}F_{n-1}=F_n+(-1)^n

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial — Αύγουστος 10, 2008 @ 10:59 μμ

  10. Λαμβάνοντας υπόψην τη μη γραμμική
    αναδρομική σχέση για τη Fibonacci, προκύπτει
    και το εξής αξιοσημείωτο:
    Ενας αριθμός n είναι όρος της
    Fibonacci αν και μόνον αν o 5n^2+4
    ή ο 5n^2-4 είναι τέλειο τετράγωνο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial — Αύγουστος 11, 2008 @ 8:02 πμ

  11. Είναι πράγματι αξιοσημείωτο. Μόνο που δεν προκύπτει από τα προαναφερθέντα. Από την αναδρομική σχέση
    (που η σωστή της μορφή αν ακολουθήσει κανείς τα βήματα που εξηγείς είναι)

    F_0=1
    F_{n}=\frac{F_{n-1}+\sqrt{5F_{n-1}^2+4(-1)^n}}{2}, n\geq{1}

    πράγματι προκύπτει ότι αν ο n είναι αριθμός Fibonacci τότε είτε ο 5n^2+4 είτε ο 5n^2-4 είναι τέλειο τετράγωνο. Για το αντίστροφο όμως θα πρέπει κανείς να δείξει ότι για κάθε λύση της διοφαντικής εξίσωσης δευτέρου βαθμού

    \displaystyle x^2-5y^2=4

    ο y είναι αριθμός Fibonacci, και το ίδιο για την εξίσωση με -4 στο δεξί μέλος.
    Εξισώσεις αυτού του τύπου είναι γνωστές ως εξισώσεις Pell (ή τύπου Pell). Για να μάθετε περισσότερα για αυτές- και πώς λύνονται- μπορείτε να ξεκινήσετε από εδώ:
    http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Αύγουστος 15, 2008 @ 6:36 μμ

  12. δινονται 3 αριθμοι 5306,3217,3124 να βρεθουν οι αριθμοι που λειπουν απο τον επομενο αριθμο 5??8

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από jim74 — Απρίλιος 14, 2009 @ 6:26 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: