Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουλίου 11, 2008

Απρόσμενη κωδικοποίηση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 2:22 πμ

Δείξτε ότι το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων στο \mathbb R μπορεί να έρθει σε 1-1 και επί αντιστοιχία με το \mathbb R. Με άλλα λόγια, κάθε συνεχής συνάρτηση μπορεί να κωδικοποιηθεί από ένα πραγματικό αριθμό! Αυτό μάλιστα μπορεί να γίνει με κάποιο «αλγόριθμο», ο οποίος, βέβαια, απέχει πολύ από το να είναι ρεαλιστικά υλοποιήσιμος.

Το αποτέλεσμα δεν ισχύει για αυθαίρετες συναρτήσεις.

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Σε αντίθεση με ό,τι ισχύει για αυθαίρετες συναρτήσεις, για να προσδιορίσετε μια συνεχή συνάρτηση, δεν χρειάζεται να ξέρετε τις τιμές της πάνω σε όλους τους πραγματικούς.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουλίου 14, 2008 @ 11:25 μμ

  2. Θα προσπαθήσω να απαντήσω στο ερώτημα απαριθμώντας το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων στο R. Υπό την προυπόθεση ότι ο παρακάτω συλλογισμός μου είναι ορθός, το σύνολο αυτό έχει την πληθικότητα του συνεχούς, δηλαδή είναι ισοπληθικό με το R. Και από αυτό έπεται άμεσα ότι υπάρχει μια 1-1 και επί αντιστοίχηση μεταξύ του συνόλου αυτού και του R.

    Έστω A το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων στο R. Παίρνω μια τυχαία f που να ανήκει στο A. Η f έχει σίγουρα πεδίο ορισμού της το R και πεδίο τιμών της κάποιο υποσύνολο f[R] του R.
    Άρα η πληθικότητα, που θα τη συμβολίζω με #A, του A είναι ίση με την πληθικότητα του συνόλου B:={f[R] | f \in A}.

    Αφού f \in A, έπεται ότι η f είναι συνεχής, άρα το f[R] είναι μή-κενό διάστημα του R.
    Άρα #Β = «όσα όλα τα δυνατά μή-κενά διαστήματα του R»

    Ένα μη κενό διάστημα (m,n) με m>n του R καθορίζεται μονοσήμαντα από τα άκρα του m,n.
    Το m μπορεί να είναι ο οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Άρα για το m έχω c επιλογές (όπου c η πληθικότητα του συνεχούς).
    Το n μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός μεγαλύτερος απο το m. Δηλαδή n \in (m, +\infinity). Άρα και για το n έχουμε c επιλογές, αφού κάθε μή-κενό διάστημα του R έχει την πληθικότητα του συνεχύς.
    Συνοψίζοντας υπάρχουν c*c=c^2 διαστήματα στον R. Για το c όμως γνωρίζουμε ότι c^n=c για κάθε n \in N. Άρα και c^2=c.

    Άρα #Α = #Β = c.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από theohari — Ιουλίου 18, 2008 @ 8:15 μμ

  3. Τα A και B είναι όντως ισοπληθικά, όχι όμως μέσω της αντιστοιχίας που δίνεις. Δυο διαφορετικές συναρτήσεις μπορεί να έχουν το ίδιο πεδίο τιμών.
    Θα έλεγα μάλιστα ότι για να δείξεις ότι τα δυο σύνολα είναι ισοπληθικά, μάλλον πρέπει πρώτα να λύσεις το πρόβλημα. Είναι πάντως καλή προσπάθεια.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουλίου 18, 2008 @ 11:14 μμ

  4. Μπορώ να θεωρήσω μια συνάρτηση που θα απεικονίζει κάθε συνάρτηση του C(\mathbb{R}) σε μια ακολουθία πραγματικών αριθμών (f(q_n))_{n \in \mathbb{N}} όπου (q_n)_{n \in \mathbb{N}} μια αρίθμηση των ρητών. Η συνάρτηση αυτή είναι ένα προς ένα. Ύστερα δείχνω ότι το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών είναι ισοπληθικό με το \mathbb{R} (σε κάποιο σημείο χρησιμοποιείται και το αξίωμα της επιλογής).

    Έτσι έχω μια συνάρτηση από το C(\mathbb{R}) στο \mathbb{R} 1-1. Προφανώς υπάρχει συνάρτηση από το \mathbb{R} στο C(\mathbb{R}) 1-1. Από Schroder-Bernstein ισοπληθικά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από halifaxpier — Ιουλίου 20, 2008 @ 12:58 πμ

  5. Σωστά. Αν δυο συνεχείς συναρτήσεις συμφωνούν στους ρητούς τότε είναι ίσες.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουλίου 20, 2008 @ 9:49 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: