Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουλίου 6, 2008

Συνέχεια συνάρτησης

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:41 πμ

Υπάρχει συνεχής συνάρτηση f:{}[0,1]\to{}[0,1] που να παίρνει κάθε τιμή άπειρες φορές;

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Αν δεχτούμε ότι υπάρχουν «καμπύλες Peano», όπως ισχυρίστηκε ο κ. Μήτσης στο ομώνυμο πρόβλημα στις 6/4/08, τότε η λύση είναι να πάρουμε την προβολή αυτής της καμπύλης ώς προς την μία μεταβλητή. Επειδή η καμπύλη είναι συνεχής άρα και η προβολή θα είναι συνεχής και επιπλέον κάθε τιμή θα την παίρνει άπειρες φορές και μάλιστα υπεραριθμήσιμες.

    Η απάντηση λοιπόν πρέπει να είναι καταφατική!

    Φυσικα εδω υπάρχει το μεγάλο κενο: πως κατασκευάζουμε μια καμπύλη Peano…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nefelh — Ιουλίου 7, 2008 @ 3:12 πμ

  2. Σωστή η απάντηση.

    Μήπως μπορείς να δώσεις μια απευθείας κατασκευή της συνάρτησης παραπάνω ή μιας καμπύλης του Peano, μιας συνεχούς συνάρτησης δηλ. g:{}[0,1] \to {}[0,1]^2 που να είναι επί;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουλίου 8, 2008 @ 10:31 πμ

  3. Ίσως ένα πιο ‘ζωντανό’ παραδειγμα τετοιας συνάρτησης να είναι
    η πουθενά παραγωγίσιμη του Weierstrass.
    Κάτι σαν την f(x):= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}\cos (11^n \pi x).
    Γράφω ίσως γιατί δυσκολεύομαι να το αποδείξω αυστηρα!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Δεκέμβριος 9, 2010 @ 8:54 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: