Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 29, 2008

Το πρόβλημα του γάμου

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Michalis Loulakis @ 11:00 μμ

Σ’ ένα καπέλο βρίσκονται Ν χαρτάκια. Κάθε χαρτάκι έχει πάνω του γραμμένο έναν (διαφορετικό) αριθμό. Ο σκοπός μας είναι να διαλέξουμε το χαρτάκι με το μεγαλύτερο αριθμό. Δεν μπορούμε όμως να τα δούμε όλα και μετά να διαλέξουμε. Κάθε φορά τραβάμε ένα χαρτάκι, βλέπουμε τον αριθμό που είναι γραμμένος πάνω του και αποφασίζουμε αν θα διαλέξουμε αυτό το χαρτάκι ή όχι. Αν το διαλέξουμε κερδίζουμε ή χάνουμε ανάλογα με το αν το χαρτάκι αυτό έχει ή όχι το μεγαλύτερο αριθμό από όλα τα χαρτάκια που ήταν αρχικά στο καπέλο. Αν το απορρίψουμε τραβάμε ένα καινούργιο χαρτάκι, αλλά δεν μπορούμε ποτέ να επιστρέψουμε σ’ αυτό που απορρίψαμε, κ.ο.κ. Αν εξαντλήσουμε όλα τα χαρτάκια αναγκαστικά «παίζουμε» με το τελευταίο χαρτάκι που έχει μείνει στο καπέλο. 

Μπορούμε να διαλέξουμε το πρώτο χαρτάκι που θα τραβήξουμε, και τότε η πιθανότητα να κερδίσουμε είναι 1/Ν, που τείνει όμως στο 0 καθώς το Ν τείνει στο άπειρο. Για αρχή βρείτε μια στρατηγική που μας εξασφαλίζει ότι κερδίζουμε με πιθανότητα τουλάχιστον p, όπου p>0 και δεν εξαρτάται από το Ν. 

 

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Διαλέγουμε τα πρώτα \left\lceil\frac{N}{2}\right\rceil χαρτάκια και τα απορρίπτουμε διαδοχικά. Έπειτα διαλέγουμε το πρώτο χαρτάκι (αν αυτό υπάρχει) που υπερβαίνει όλα τα προηγούμενα. Η πιθανότητα να κερδίσουμε είναι σίγουρα μεγαλύτερη από 1/4.

    Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι οποτεδήποτε το δεύτερο μεγαλύτερο χαρτάκι είναι στα πρώτα Ν/2 που επιλέξαμε και το μεγαλύτερο δεν είναι σε αυτά, κερδίζουμε.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nefelh — Ιουλίου 2, 2008 @ 1:08 μμ

  2. Πολύ ωραία.

    Νέο ερώτημα:

    Με τη στρατηγική που περιγράφηκε κερδίζουμε και σε άλλες περιπτώσεις. Αν π.χ. το τρίτο μεγαλύτερο χαρτάκι είναι στα πρώτα μισά που θα τραβήξουμε ενώ το μεγαλύτερο και το δεύτερο μεγαλύτερο στα δεύτερα μισά, και επιπλέον τραβήξουμε το μεγαλύτερο πριν τραβήξουμε το δεύτερο μεγαλύτερο. Βρείτε λοιπόν ακριβώς ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσουμε με αυτή τη στρατηγική και ποιο είναι το όριό της καθώς N\to\infty.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουλίου 2, 2008 @ 1:19 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: