Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 25, 2008

Πολλά ακρότατα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 1:40 μμ

Ας πούμε ότι η f:\mathbb R\to\mathbb R είναι μια τυχούσα συνάρτηση. Είναι δυνατό το σύνολο των γνήσιων τοπικών ακρότατων της f να είναι υπεραριθμήσιμο;

Advertisements

9 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Η απάντηση είναι όχι.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 29, 2008 @ 9:38 μμ

  2. Υπόδειξη:

    Το x να είναι, ας πούμε, γνήσιο τοπικό μέγιστο σημαίνει ότι υπάρχει ένα ανοιχτό διάστημα I_x με x\in I_x τέτοιο ώστε για κάθε y\in I_x με y\ne x να ισχύει f(y)<f(x).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουλίου 15, 2008 @ 9:16 μμ

  3. Υπόδειξης Συνέχεια:

    Τα I_x μπορούμε να τα επιλέξουμε έτσι ώστε να έχουν ρητά άκρα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Αύγουστος 31, 2008 @ 3:43 μμ

  4. Αν είχαμε υπεραριθμήσιμα γνήσια τοπικά ακρότατα, θα παίρναμε υπεραριθμήσιμα I_x σύνολα που να έχουν ρητά άκρα.Τότε θα είχαμε και υπεραριθμήσιμους ρητούς.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από olack — Δεκέμβριος 2, 2008 @ 10:09 μμ

  5. Χρειάζεται ένα επιπλέον επιχείρημα. Πρέπει να δείξεις ότι η οικογένεια είναι όντως υπεραριθμήσιμη. Το ότι το σύνολο δεικτών είναι υπεραριθμήσιμο δεν σημαίνει κατ’ ανάγκη ότι και η οικογένεια είναι υπεραριθμήσιμη.
    Για να δείς αυτό το φαινόμενο σε μια άλλη περίπτωση, πάρε, ας πούμε τη σταθερή ακολουθία x_n=5. Το σύνολο δεικτών είναι βέβαια άπειρο, αλλά το \{x_n:n\in\mathbb N\} είναι μονοσύνολο.
    Στην περίπτωση της άσκησης, πρέπει να δείξεις ότι η απεικόνιση x\mapsto I_x είναι 1-1.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 3, 2008 @ 4:19 μμ

  6. Εκτώς και αν δεν έχω καταλάβει καλά, δεν είναι άμεσο συμπέρασμα από την υπόδειξη; Αφού αν για x διάφορο του y (και τα 2 ακρότατα) είχαμε I_x=I_y θα είχαμε f(x)>f(y) και f(y)>f(x)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από olack — Δεκέμβριος 3, 2008 @ 10:14 μμ

  7. Πολύ σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 4, 2008 @ 11:28 πμ

  8. Χμ… Μπορείτε να εξηγήσετε λίγο γιατί είναι άμεσο συμπέρασμα?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από charav — Απρίλιος 21, 2009 @ 6:02 μμ

  9. Ας υποθέσουμε ότι για δυο διακεκριμένα τοπικά μέγιστα x,y έχουμε I_x=I_y.
    Αφού το x είναι τοπικό μέγιστο, έχουμε f(x)>f(t) για κάθε t\in I_x με t\ne x.
    Αλλά y\in I_x, αφού υποθέσαμε ότι I_x=I_y. Έτσι f(x)>f(y).
    Ομοίως, αφού το y είναι τοπικό μέγιστο, έχουμε f(y)>f(t) για κάθε t\in I_y με t\ne y.
    Έτσι, όπως πριν, f(y)>f(x).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 21, 2009 @ 8:31 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: