Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 25, 2008

Κρατούμενα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Michalis Loulakis @ 12:41 πμ

Επιλέγουμε τυχαία δύο N-ψήφιους αριθμούς (στο δεκαδικό σύστημα) και τους προσθέτουμε. Έστω A_N το πλήθος των κρατουμένων που μεταφέραμε κατά την πρόσθεση. Τι συμβαίνει στο A_N/N καθώς N\to\infty ;

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Καθως το Ν τείνει στο άπειρο, ο ζητούμενος λόγος κατα μέσο όρο τείνει στο 0.5

    Κι αυτό γιατί,
    η πιθανότητα κρατούμενου από μονάδες σε δεκάδες είναι 0.45
    η πιθανότητα κρατούμενου απο δεκάδες σε εκατοντάδες 0.495
    η πιθανότητα κρατούμενου απο εκατοντάδες σε χιλιάδες 0.4995 κ.ο.κ

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από yioryos — Ιουλίου 2, 2008 @ 1:25 μμ

  2. Πράγματι αυτές είναι οι πιθανότητες εμφάνισης κρατουμένου στις θέσεις 1,2,3. Μπορεί να δείξει κανείς ότι η πιθανότητα εμφάνισης κρατουμένου στη n-οστή θέση είναι \frac{10^n-1}{2\times 10^n} (πώς; ) και άρα όπως είπες η αναμενόμενη τιμή του A_N/N συγκλίνει στο 1/2. Αυτό το συμπέρασμα δεν αποκλείει όμως το A_N/N (που είναι μια τυχαία μεταβλητή) να παίρνει με πιθανότητα φραγμένη μακριά από το μηδέν τιμές κοντά ας πούμε στα 2/3 και στο 1/3. Χρειαζόμαστε κάποιο οριακό θεώρημα που μας εξασφαλίζει ότι η A_N/N συγκλινει κατά μια έννοια στην αναμενόμενη τιμή της. Ποιό είναι αυτό; Σκεφτείτε ποια είναι η εξάρτηση ενός κρατουμένου από τα προηγούμενα κρατούμενα της πρόσθεσης.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουλίου 2, 2008 @ 2:22 μμ

  3. Να εξηγήσω λίγο καλύτερα τη σκέψη μου στο σημείο που ανέφερα
    «Αυτό το συμπέρασμα δεν αποκλείει όμως το A_N/N (που είναι μια τυχαία μεταβλητή) να παίρνει με πιθανότητα φραγμένη μακριά από το μηδέν τιμές κοντά ας πούμε στα 2/3 και στο 1/3.»

    Θεωρήστε μια ακολουθία από ανεξάρτητες τ.μ.
    U_n που παίρνουν τις τιμές -1 ή +1 με πιθανότητα p_n, 1-p_n. Τα p_n είναι τέτοια ώστε p_0=\frac{1}{2} και \sum_n p_n < \infty. Ορίζουμε τώρα
    \displaystyle X_n=\prod_{k=0}^n U_k .

    Από την ανεξαρτησία των U_k έχουμε \displaystyle E\big[X_n\big]=\prod_{k=0}^n E\big[U_k\big]=0 (αφού E\big[U_0\big]=0.)

    Οι αλλαγές προσήμου στη X είναι όσες και τα U_k που παίρνουν την τιμή -1, δηλαδή
    \sum_k\frac{1-U_k}{2} και άρα ο αναμενόμενος αριθμός των αλλαγών προσήμου είναι \sum_k p_k <\infty. Επομένως με πιθανότητα 1 οι αλλαγές προσήμου στη X είναι πεπερασμένες και άρα η X_n συγκλίνει με πιθανότητα 1. Λόγω συμμετρίας έχουμε μάλιστα
    \displaystyle P\big[\lim X_n=1\big]=P\big[\lim X_n=-1\big]=\frac{1}{2}.

    Παρότι λοιπόν η αναμενόμενη πυκνότητα των +1 στη X είναι 1/2,
    η πυκνότητα τους συγκλίνει είτε στο 0 είτε στο 1 σχεδόν βεβαίως.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουλίου 2, 2008 @ 3:54 μμ

  4. Υπόδειξη:

    Δείξτε ότι η ακολουθία των κρατουμένων είναι μαρκοβιανή. Ποιό είναι το αναλλόιωτο μέτρο της;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουλίου 9, 2008 @ 9:59 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: