Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 25, 2008

«Ασθενής» παράγωγος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 6:31 μμ

Όπως ξέρουμε, η παράγωγος μιας f:\mathbb R\to\mathbb R σε κάποιο σημείο x_0 ορίζεται να είναι το

(*)\ \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},

αν φυσικά υπάρχει. Ας πούμε τώρα ότι ξέρουμε ότι η f είναι συνεχής και ας εξασθενίσουμε την (*) : Υποθέτουμε ότι το

\displaystyle\lim_{q\in\mathbb Q,\ q\to0}\frac{f(x_0+q)-f(x_0)}{q}

υπάρχει. Μπορείτε να συμπεράνετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0;

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Η απάντηση είναι ναι. Η συνέχεια της f είναι ουσιαστική απαίτηση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 29, 2008 @ 9:42 μμ

  2. Υπόδειξη:

    Αν h_n είναι τυχούσα ακολουθία με h_n\to0, τότε γράψτε

    \displaystyle\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}=\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0+q_n)}{h_n}+\frac{q_n}{h_n}\cdot\frac{f(x_0+q_n)-f(x_0)}{q_n},

    όπου q_n είναι μια κατάλληλα επιλεγμένη ακολουθία ρητών.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Αύγουστος 31, 2008 @ 7:38 μμ

  3. Έστω h_n ακολουθία με h_n \to 0 και h_n \neq0 \;\; \forall n\in \mathbb(N). Υποθέτουμε ότι h_n\leq \frac{1}{2} \;\; \forall n\in \mathbb{N}.
    Η f είναι ομοιόμορφα συνεχής στο [x_0-1,x_0+1] άρα \forall n\in \mathbb{N} υπάρχει 0 <\delta_n \leq \frac{1}{2} έτσι ώστε

    \forall x,y\in[x_0-\frac{1}{2},x_0+\frac{1}{2}] με |x-y| < \delta_n \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \frac{|h_n|}{n}.

    Έστω q_n ακολουθία ρητών με |q_n-h_n|<min{ \{ \frac{|h_n|}{n},\delta_n \} } οπότε h_n-\frac{|h_n|}{n}<q_n<h_n+\frac{|h_n|}{n}.
    Άρα ισχύει \frac{q_n}{h_n} \to 1 ,\;\;\; q_n \to 0 .
    Τώρα αφού |x_0+h_n-(x_0+q_n)|<\delta_n \Rightarrow | \frac{f(x_0+h_n)-f(x_0+q_n)}{h_n}|<\frac{1}{n} \to 0.
    Άρα έχουμε \frac{f(x_0+h_n)-f(x_0+q_n)}{h_n} \to 0 .

    Τέλος γράφοντας \frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n} =\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0+q_n)}{h_n}+\frac{q_n}{h_n}\frac{f(x_0+q_n)-f(x_0)}{q_n}\to\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_0+q_n)-f(x_0)}{q_n} παίρνουμε το ζητούμενο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Pambos — Μαρτίου 14, 2012 @ 11:18 μμ

  4. Σωστά

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 14, 2012 @ 11:58 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: