Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 21, 2008

Ισορροπία πέντε ίσων δυνάμεων

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Michalis Loulakis @ 10:25 μμ

Για προθέρμανση δείξτε ότι τρεις μιγαδικοί αριθμοί με μέτρο 1 έχουν άθροισμα μηδέν αν και μόνο αν είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου, ενώ τέσσερις μιγαδικοί αριθμοί με μέτρο 1 έχουν άθροισμα μηδέν αν και μόνο αν είναι κορυφές ορθογωνίου ή της μορφής (ζ,ζ-ζ,-ζ). Βρείτε τώρα όλους τους δυνατούς τρόπους ώστε πέντε μιγαδικοί αριθμοί με μέτρο 1 να έχουν άθροισμα μηδέν.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:
    Έστω z ένας μιγαδικός αριθμός όχι κατ’ ανάγκη μέτρου 1. Βρείτε μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για το z ώστε να υπάρχουν w_1, w_2 με|w_1|=|w_2|=1 και w_1+w_2=z.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουλίου 1, 2008 @ 12:51 μμ

  2. Εστω X, Y, Z, O τα σημεία που αντιστοιχούν στους
    μιγαδικούς x, y, -z και στην αρχή των αξόνων.

    Το είχα σκεφτεί κάπως διαφορετικά.
    Η σχέση x+y+z=0 δίνει x+y=-z Τώρα το -z το
    βρίσκουμε με τον κανόνα του παραλληλόγραμμου
    και επειδή ΟX=ΟY, το ΟXZY είναι ρόμβος.
    Επιπλέον |x+y|=ΟZ=|-z|=1=OX άρα τα τρίγωνα
    OXZ και ΟΖΥ είναι ισόπλευρα.
    Συνεπώς τα ΟX και ΟY μεταξύ τους σχηματίζουν
    γωνία 120 μοίρες.
    Το -z βρίσκεται στην εσωτερική διχοτόμο της
    κυρτής γωνίας XΟY άρα το z βρίσκεται πάνω
    στη διχοτόμο της μη κυρτής γωνίας XΟY. Εστω
    W το σημείο που αντιστοιχεί στον z.

    Τώρα ΟW=ΟY=ΟX και
    XΟY=XΟW=YΟW=120 μοίρες. Αρα το τρίγωνο
    XYW είναι ισόπλευρο και οι κορυφές του
    αντιστοιχούν στους x, y, z για τους οποίους
    υποθέσαμε ότι ισχύει x+y+z=0.

    Για το αντίστροφο:
    Ας υποθέσουμε οτι οι x, y, z είναι κορυφές
    ισόπλευρου τριγώνου και ότι |x|=|y|=|z|=1.
    Αρκεί να δείξουμε ότι τα x+y και z σχηματίζουν
    μεταξύ τους γωνία 180 μοίρες.

    Υπολογίζουμε το εσωτερικό γiνόμενο (x+y).z
    Εχουμε (x+y).z = |x+y|*|z|*cosΘ1.
    Τώρα |x+y|=1 το οποίο διαπιστώνεται εύκολα
    με απλή γεωμετρία. Αρα (x+y).z = cosΘ1
    Αν υπολογίσουμε το εσωτερικό γινόμενο
    με διάσπαση έχουμε:
    (x+y).z=x.z + y.z=|x|*|z|*cosΘ2+|y|*|z|*cosΘ3
    Τώρα cosΘ2=cosΘ3=-1/2
    Αρα (x+y).z=-1
    Τελικά έχουμε cosΘ1 = -1. Αρα τα x+y, z
    σχηματίζουν γωνία 180 μοίρες και |x+y|=|z|=1
    Αρα x+y+z=0.

    Σε περίπτωση που η απόδειξη είναι σωστή, μήπως
    υπάρχει κάποιος πιο σύντομος τρόπος, ώστε να
    προχωρήσουμε στους 4 και 5 αριθμούς;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial — Ιουλίου 1, 2008 @ 4:28 μμ

  3. Θα έπρεπε να χρησιμοποιήσω διανύσματα
    για τα εσωτερικά γινόμενα στο αντίστροφο γιατί
    έτσι όπως το γράφω φαίνεται ότι υπολογίζω
    το εσωτερικό γινόμενο μιγαδικών.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial — Ιουλίου 1, 2008 @ 4:40 μμ

  4. Σωστή είναι η απάντησή σου για τρεις αριθμούς. Να και μια σύντομη λύση: Έστω u,v,w τρεις μιγαδικοί αριθμοί με μέτρο 1 και άθροισμα 0. Μπορούμε να προσδιορίσουμε το πολυώνυμο που έχει απλές ρίζες ακριβώς αυτούς τους αριθμούς. Είναι το ζ^3-uvw (Vieta). Άρα οι ρίζες του (οι u,v,w δηλαδή) είναι οι τρεις κυβικές ρίζες του uvw και άρα σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. Με παρόμοιο τρόπο μπορείτε να λύσετε και το πρόβλημα για τέσσερις αριθμούς. Το αντίστροφο είναι πολύ εύκολο. Αν οι u,v,w σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο και βρίσκονται στο μοναδιαίο κύκλο τότε οι v,w προκύπτουν από τον u με στροφή 120 ή 240 μοιρών, άρα είναι οι u,uω,uω^2 (ω κυβική ρίζα της μονάδας διάφορη του 1) και έχουν άθροισμα μηδέν.

    Για έναν επίσης σύντομο τρόπο που θα δώσει την απάντηση και για 5 (ή όσους θέλετε) αριθμούς δείτε την υπόδειξη παραπάνω.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουλίου 2, 2008 @ 10:33 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: