Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 14, 2008

Προδιαγεγραμμένες ασυνέχειες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 8:52 μμ

Σας δίνεται ένα κλειστό υποσύνολο του \mathbb R. Μπορείτε να βρείτε μια συνάρτηση η οποία να είναι ασυνεχής ακριβώς στα σημεία του δοσμένου συνόλου;

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Γνωρίζουμε ότι ένα σύνολο είναι ανοικτό στην (συνηθισμένη) τοπολογία του R ανν είναι αριθμήσιμη ένωση ανοικτών διαστημάτων. Άρα, τα κλειστά σύνολα, σαν συμπληρώματα των ανοικτών, είναι αριθμήσιμες ενώσεις κλειστών διαστημάτων.
    Έστω Α=U[ai,bi], όπου το i διατρέχει τους φυσικούς. μπορούμε να κατασκευάσουμε μία συνάρτηση που είναι ασυνεχής ακριβώς στα σημεία του Α ως εξής:
    Ορίζουμε την f σταθερή και ίση με 2 σε κάθε σημείο του R-A. Σε κάθε διάστημα [ai,bi] ορίζουμε την f 0 στα ρητά σημεία του διαστήματος και 1 στα άρρητα σημεία του διαστήματος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από sonzi — Ιουνίου 17, 2008 @ 4:25 μμ

  2. Πρόσεξε, αυτό που γράφεις στην αρχή δεν είναι σωστό. Ένα ανοιχτό σύνολο είναι αριθμήσιμη ένωση ανοιχτών διαστημάτων, άρα ένα κλειστό σύνολο είναι αριθμήσιμη τομή συμπληρωμάτων ανοιχτών διαστημάτων.
    Παρ’ όλα αυτά η συνάρτηση που προτείνεις είναι ουσιαστικά η σωστή. Παίρνει την τιμή 2 έξω από το σύνολο, την τιμή 0 στα ρητά σημεία του συνόλου (αν υπάρχουν) και την τιμή 1 στα άρρητα σημεία του συνόλου (αν υπάρχουν).
    Θα θεωρήσω λοιπόν ότι έλυσες το πρόβλημα.

    Το ερώτημα που τίθεται είναι:
    Πώς χρησιμοποιείται η υπόθεση ότι το σύνολο είναι κλειστό;
    Αν ορίζαμε μια συνάρτηση όπως παραπάνω σ’ ένα αυθαίρετο σύνολο, πού θα ήταν το πρόβλημα;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 17, 2008 @ 6:08 μμ

  3. Η υπόθεση ότι το σύνολο είναι κλειστό χρησιμεύει για να δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι ασυνεχής ακριβώς στα σημείωμα του συνόλου Α. Αφού το συμπλήρωμα του Α είναι ανοικτό, κάθε σημείο χ που δεν ανήκει στο Α ανήκει σε ένα ανοικτό διάστημα που βρίσκεται ολόκληρο εκτός του Α. Επειδή η f είναι σταθερή στο διάστημα αυτό, είναι συνεχής στο σημείο χ.
    H f είναι προφανώς ασυνεχής στα σημεία του Α(αρκεί να πάρουμε μια ακολουθί)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από sonzi — Ιουνίου 17, 2008 @ 6:43 μμ

  4. (αν το χεΑ είναι άρρητος, αρκεί να πάρουμε μια οποιαδήποτε ακολουθία ρητών που συξκλίνει στο χ.Πάνω στην ακολουθία αυτή, η f θα παίρνει τις τιμές 0 ή 1, οπότε αποκλείεται η f(an) να συγκλίνει στο 2)
    όμοια αν το χ είναι ρητός

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από sonzi — Ιουνίου 17, 2008 @ 6:46 μμ

  5. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 18, 2008 @ 11:47 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: