Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 14, 2008

Μια ταυτότητα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 7:09 μμ

Θεωρήστε δύο σχετικά πρώτους φυσικούς αριθμούς p,q. Δείξτε ότι

\displaystyle \big[\frac{p}{q}\big]+\big[\frac{2p}{q}\big]+\cdots+\big[\frac{(q-1)p}{q}\big]=\frac{(p-1)(q-1)}{2}.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Θα το δείξουμε με επαγωγή στο άθροισμα . Εύκολα διαπιστώνουμε ότι ισχύει για τις πρώτες τιμές των . Έστω . Τότε, και . Πράγματι, αν το υ ήταν μηδέν , τότε το q θα διαιρούσε το p και αν υπήρχε κοινός διαιρέτης των υ,q αυτός θα διαρούσε και το p. Και στις δύο περιπτώσεις οδηγούμαστε σε άτοπο, αφού οι p,q είναι πρώτοι μεταξύ τους. Άρα,

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από sonzi — Ιουνίου 16, 2008 @ 5:12 μμ

  2. Η λυση μάλλον είναι ελλiπής, μιας και δεν εμφανίζονται οι τύποι του Mathtype.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από sonzi — Ιουνίου 16, 2008 @ 5:17 μμ

  3. Θα το δείξουμε με επαγωγή στο άθροισμα p+q.

    Εύκολα διαπιστώνουμε ότι ισχύει για τις πρώτες τιμές των p,q((2,3),(3,4),()4,5).
    Έστω p=πq+υ με 0<=υ<q. Τότε, το υ είναι διάφορο του μηδενός και μκδ(υ,q)=1. Πράγματι, αν το υ ήταν μηδέν , τότε το q θα διαιρούσε το p και αν υπήρχε κοινός διαιρέτης των υ,q αυτός θα διαρούσε και το p. Και στις δύο περιπτώσεις οδηγούμαστε σε άτοπο, αφού οι p,q είναι πρώτοι μεταξύ τους.
    Άρα,
    [p/q]+[2p/q]+…+[(q-1)p/q]= [πq+υ/q]+[( πq+υ)/q]+…+[(q-1)( πq+υ)/q]=
    π+[υ/q]+2π+[2υ/q]+…+(q-1)π+[(q-1)υ/q]=
    (1+2+…+(q-1))π+[υ/q]+ [2υ/q]+…+ [(q-1)υ/q]={Υπόθεση Επαγωγής}
    q(q-1)π/2+(q-1)(υ-1)/2=(q-1)(πq+υ-1)/2=
    (q-1)(p-1)/2, που είναι το ζητούμενο

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από sonzi — Ιουνίου 17, 2008 @ 4:11 μμ

  4. Σωστή η απάντησή σου- αυτό που κάνεις είναι στην ουσία επαγωγή επί του p (για p=1 η σχέση είναι προφανής.) Δείτε και μια ακόμη λύση:

    Θεωρήστε τα ζευγάρια με συντεταγμένες (n,m) ώστε m\in\{1,2,...,p-1\} και n\in\{1,2,...,q-1\}. Πόσα από αυτά βρίσκονται κάτω από την ευθεία που ενώνει το (0,0) με το (q,p);
    Αν τα μετρήσει κανείς κατά στήλη παίρνει ακριβώς την παράσταση στο αριστερό μέλος. Επειδή οι p,q είναι σχετικά πρώτοι κανένα τέτοιο σημείο δεν ανήκει στην ευθεία, ενώ από την άλλη το (n,m) είναι κάτω από την ευθεία αν και μόνο αν το (q-n,p-m) είναι πάνω από την ευθεία. Άρα κάτω από την ευθεία βρίσκονται ακριβώς τα μισά, δηλαδή \frac{(p-1)(q-1)}{2} σημεία.

    Δεν είναι δύσκολο να δείτε και πώς αλλάζει η ταυτότητα αν (p,q)=k. Το δεξί μέλος της ταυτότητας πρέπει να γίνει \frac{(p-1)(q-1)+k-1}{2}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουνίου 17, 2008 @ 9:47 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: