Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 11, 2008

Ευσταθής ισορροπία

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Michalis Loulakis @ 10:38 πμ

Θεωρήστε ένα κυρτό πολύεδρο στον \mathbb{R}^3 φτιαγμένο από ένα υλικό με πυκνότητα \rho(x). Δείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον μια έδρα πάνω στην οποία το πολύεδρο ισορροπεί (δηλαδή αν ακουμπήσουμε την έδρα αυτή σ’ ένα οριζόντιο επίπεδο τότε η προβολή του κέντρου βάρους του πολυέδρου σε αυτό το επίπεδο βρίσκεται μέσα στην έδρα αυτή.) 

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Ένα κυρτό πολύεδρο \Pi είναι η τομή κλειστών ημιχώρων της μορφής \{x\in\mathbb{R}^3: p_i\cdot x - \alpha_i\ge 0\}, με τα p_i να είναι μοναδιαία διανύσματα κάθετα στις έδρες του πολυέδρου με κατεύθυνση προς το εσωτερικό του. Για κάποια έδρα {\cal E}_i η ποσότητα
    \displaystyle V_i=\int_{\Pi} (p_i\cdot x - \alpha_i)\rho(x) dx
    ελαχιστοποιείται. Δείξτε ότι πάνω σε αυτή την έδρα το πολύεδρο ισορροπεί.

    Η ιδέα προέρχεται από τη Φυσική. Αν τοποθετήσουμε την έδρα {\cal E}_i στο επίπεδο z=0 (οπότε p_i=\hat{z},\ a_i=0) τότε η V_i είναι η δυναμική ενέργεια του πολυέδρου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουνίου 21, 2008 @ 3:05 πμ

  2. Απαγωγή ad absurdum: Αν δεν ισορροπούσε πάνω σε μία (τουλάχιστον) έδρα και συγκεκριμένα στην έδρα ως προς την οποία η δυναμική του ενέργεια θα είναι η ελάχιστη δυνατή (δηλαδή αυτη που δημιουργεί την ελάχιστη «εκκεντρότητα» με το άνυσμα της συνισταμένης βαρυτικής δύναμης) δεν θα έγραφα αυτό το σχόλιο, καθότι θα είχα ανακαλύψει μόλις το «Αεικίνητο» ,και θα όδευα ήδη προς Στοκχόλμη…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Rizopoulos Georgios — Νοέμβριος 30, 2013 @ 7:06 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: