Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 5, 2008

Αφύσικη Διάσπαση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 2:28 μμ

Μπορείτε να διασπάσετε μια ευθεία σε ξένα ανά δύο ευθύγραμμα τμήματα;

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Μέρες το παιδεύω στο μυαλό και σήμερα, εκει που καθόμουν στο καναπέ μου ήρθε αυτό που οι αμερικάνοι ονομάζουν <>.

    Ο χρονος μου είναι λίγος οποτε θα το κάνω τελείως περιγραφικά.

    Η ιδέα είναι κάποια τροποποίηση του συνόλου Cantor.

    Αρχικά είναι προφανές ότι απο την ευθεία μπορούμε να «σταντάρουμε» όλα τα ευγραμμα τμήματα της μορφής [2ν-1, 2ν] για ν ακέραιο. Συνεπώς το πρόβλημα ανάγεται στο να χωρίσουμε σε ευθύγρμμα τμήματα το ανοικτό(!) διάστημα (0,1). [Μετά θα πάρουμε την αριθμήσιμη οικογένοια των διαστημάτων]

    Βήμα 1ο: σταντάρουμε το ευθύγραμμο τμήμα με κέντρο το κέντρο του (0,1) (δηλαδή το 0,5) και μήκος 1/2 του μήκους του διαστήματος (δηλαδή 1/2). Απομένουν τα διαστήματα (0,1/4) και (3/4,1).

    Βήμα 2ο: Σταντάρουμε σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα το διάστημα με κέντρο το κέντρο του διαστμήματος και με μήκος 2/3 του διαστήματος (δηλαδή μήκος 1/6).

    ….and so on…

    Βήμα ν-οστό: Από τα εναπομείναντα ανοικτά διαστήματα σταντάρουμε τα διαστήματα με κέντρο τα κέντρα των διαστημάτων αυτών και ακτίνα ίση με τα ν/(ν+1) των μηκών τους.

    Αν πάρουμε την αριθμήσιμη οικογένοια των κλειστών αυτών διαστημάτων, δεν περισεύει ούτε ένα σημείο της ευθείας.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nefelh — Ιουνίου 20, 2008 @ 8:55 μμ

  2. Πολύ ωραία ιδέα. Αλλά δεν είναι σωστή. Το ότι είναι ωραία ιδέα φαίνεται από το ότι δεν είναι καθόλου προφανές γιατί δεν είναι σωστή:

    Έστω ότι A είναι η ένωση των κλειστών διαστημάτων που έχεις επιλέξει. Ισχυρίζεσαι ότι το A είναι ολόκληρο το αρχικό διάστημα. Ας δούμε γιατί αυτό δεν είναι σωστό. Στο n βήμα εγώ επιλέγω τα κλειστά διαστήμα που εσύ έχεις μέχρι τότε αφήσει απ’ έξω και ονομάζω την ένωσή τους B_n. Η B_n είναι μια φθίνουσα ακολουθία κλειστών συνόλων και η τομή τους, έστω B, είναι μη κενή και υπεραριθμήσιμη, γιατί είναι στην πραγματικότητα ένα «Cantor»-οειδές σύνολο. Η τομή του A με το B είναι το σύνολο των άκρων των διαστημάτων σου (ή των διαστημάτων μου, το ίδιο κάνει) και είναι αριθμήσιμη. Αυτό όμως είναι άτοπο γιατί η τομή του A με το B είναι B (υποθέσαμε ότι το A είναι τα πάντα) και το B είναι υπεραριθμήσιμο.

    Σε εξαπάτησε η διαίσθησή σου και πίστεψες ότι μέσω της διαδικασίας που περιγράφεις μπορείς να εξαντλήσεις ολόκληρο το αρχικό διάστημα. Το A δεν είναι τα πάντα. Αυτό που μένει είναι ένα υπεραριθμήσιμο σύνολο μέτρου μηδέν. Αυτό δηλαδή που στην πραγματικότητα κάνεις είναι η κατασκευή του συμπληρώματος ενός συνόλου τύπου Cantor.

    Για να μην παιδεύεσαι στην «θετική» κατεύθυνση, σου λέω ότι η απάντηση στο πρόβλημα είναι αρνητική. Δεν μπορούμε να διασπάσουμε την ευθεία σε ξένα ανά δυο κλειστά διαστήματα…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 21, 2008 @ 1:42 πμ

  3. Υπόδειξη:

    Μάλλον υπάρχουν αρκετοί τρόποι να το δείτε. Ένας από αυτούς είναι ο εξής:

    Υποθέστε ότι αυτό που λέει το πρόβλημα είναι εφικτό, και κοιτάξτε το σύνολο των άκρων των ευθυγράμμων τμημάτων. Το σύνολο αυτό έχει κάποιες παράξενες ιδιότητες.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 25, 2008 @ 4:14 μμ

  4. An dialeksw ena kleisto diasthma tote ta akra einai shmeia suswreushs twn akrwn allwn diasthmatwn.se allh periptwsh h 8a uphrxe kommati tis eu8eias pou den 8a kaluptotan h 8a sunepeftan duo diasthmata. Afou ka8e akro einai shmeio suswreushs kai to sunolo twn akrwn einai kleisto(den geinete mia akolou8ia apo akra na suglinei se eswteriko shmeio kapoiou diasthmatos) 8a einai teleio sunolo. ara exei uperari8mhsima shmeia kai epomenws ta diasthmata prepei na einai uperari8mhsima to opoio einai atopo giati ta diasthmata einai ligotera apo to plh8os twn rhtwn.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από artnoage — Δεκέμβριος 24, 2008 @ 6:32 πμ

  5. Σωστά.
    Παρεμπιπτόντως, μια εναλλακτική απόδειξη τού ότι ένα τέλειο σύνολο είναι υπεραριθμήσιμο είναι η εξής.
    Αν υπήρχε αριθμήσιμο τέλειο σύνολο, τότε, από το θεώρημα τού Baire, κάποιο σημείο τού συνόλου θα είχε μη κενό σχετικό εσωτερικό, δηλαδή θα ήταν μεμονωμένο, άτοπο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 24, 2008 @ 2:31 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: