Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουνίου 1, 2008

Μια πολύ μεγάλη πρόσθεση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 2:29 μμ

Έστω \displaystyle A=4444^{4444}. Ο B είναι το άθροισμα των ψηφίων του A (στο δεκαδικό σύστημα), και ο \Gamma το άθροισμα των ψηφίων του B. Ποιό είναι το άθροισμα των ψηφίων του \Gamma;

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Έστω D το άθροισμα των ψηφίων του Γ.

    To πλήθος των ψηφίων του Β θα είναι {}[4444\cdot \log{(4444)}]+1=16211.
    To πλήθος των ψηφίων του Γ θα είναι {}[\log{(16211)}]+1=5.
    Άρα το πλήθος των ψηφίων του D θα είναι {}[\log{(5)}]+1=1.

    Ξέρουμε επίσης ότι 4444^{4444} \equiv D (mod 9) και βρίσκουμε ότι
    4444^{4444} \equiv 7^{4444} \equiv (7^3)^{1481}\cdot 7 \equiv 7(mod 9).

    Συνεπώς D=7.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από steliosdes — Ιουνίου 1, 2008 @ 9:32 μμ

  2. Μήπως μπορείτε να τα εξηγήσετε λίγο παραπάνω αυτά; Δεν είμαι σίγουρος ότι είναι σωστό αλλά ίσως απλά να μην καταλαβαίνω πώς βρήκατε τί.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 2, 2008 @ 3:46 μμ

  3. Ναι έχετε δίκιο, το έγραψα βιαστικά χθες και είχα εντελώς λάθος συλλογισμό.

    Η λογική είναι η εξής:

    To πλήθος των ψηφίων του Α είναι {}[4444\cdot \log(4444)]+1=16211.
    Άρα το Β θα είναι το πολύ 16211*9=145899.
    Οπότε το πλήθος των ψηφίων του Β θα είναι το πολύ {}[\log(145899)]+1=6.
    Δηλαδή το \Gamma θα είναι το πολύ 6*9=54.

    Τώρα ισχύει 4444^{4444} \equiv \Gamma (\bmod 9) οπότε \Gamma \equiv 7 (\bmod 9) και επειδή \Gamma <=54 το άθροισμα των ψηφίων του θα είναι 7 άρα D=7.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από steliosdes — Ιουνίου 2, 2008 @ 7:31 μμ

  4. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 2, 2008 @ 9:50 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: