Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 30, 2008

Πώς να βγάλετε κέρδος απ’ το μηδέν

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:55 μμ

Βρείτε ένα σύνολο A στο επίπεδο το οποίο να μπορεί να διαμεριστεί σε δύο ξένα μεταξύ τους σύνολα B και C τέτοια ώστε το B να είναι μεταφορά του A και το C να είναι μια στροφή του A.


Έμαθα αυτή την άσκηση από τον Αρίστο Συσκάκη.

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Σχόλιο:

    Το πρόβλημα αυτό φαίνεται να μοιάζει πολύ με το περίφημο παράδοξο Banach-Tarski, στο οποίο μια μπάλα στον τρισδιάστατο χώρο χωρίζεται σε ένα πεπερασμένο πλήθος από κομμάτια τα οποία τα πάμε παραπέρα και τα ξανασυναρμολογούμε με τέτοιο τρόπο ώστε να πάρουμε δύο μπάλες ίδιες με την αρχική.

    Όμως το «παράδοξο» στην κατασκευή Banach-Tarski πηγάζει από το γεγονός ότι η σφαίρα έχει πεπερασμένο και θετικό όγκο, άρα τα κομμάτια θα είναι μη μετρήσιμα, αφού αλλιώς θα παραβιαζόταν η προσθετικότητα του όγκου.

    Αν όμως ο όγκος είναι 0 ή άπειρος δεν υπάρχει τέτοιο παράδοξο. Μια λύση στο παραπάνω πρόβλημα έχει τα σύνολα να είναι αριθμήσιμα, άρα όγκου 0. Δεν υπάρχει τίποτα το παράδοξο λοιπόν εδώ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 1, 2008 @ 1:49 πμ

  2. ΩΩΩ ο κ. Συσκάσης καθηγητής μου και συντοπίτης μου…Παρα πολύ καλός επιστήμωνας και άνθρωπος…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Κλάδος Μανούσος — Αύγουστος 30, 2008 @ 3:22 μμ

  3. Δεν θα αιτιολογήσω όλα τα βήματα που θα κάνω, όμως νομίζω ότι αυτά που θα αφήσω φαίνονται εύκολα, και ελπίζω να μην έχει γίνει κάποιο λάθος.

    Καταρχήν παίρνουμε έναν υπερβατικό αριθμό {0 < t < 1} και u := \arccos(t). Επομένως τα cos(u) και sin{u} είναι υπερβατικοί και αυτό που πετυχαίνω είναι ότι για οποιαδήποτε ακολουθία ακεραίων \{a_n\}_{n\leq N}, το πολυώνυμο {\sum_{n=0}^N a_n e^{inu}} δε μηδενίζεται.

    Τώρα ορίζω το σύνολο A να είναι το εξής, χρησιμοποιώντας μιγαδικό συμβολισμό από εδώ και πέρα: αν r(x)=e^{iu} είναι η στροφή κατά u και t(x)=x+i είναι η μεταφορά κατά 1 στον άξονα y, αρχίζουμε από το \{0\} και αφήνουμε τα r,t να δράσουν στο \{0\}. Η στροφή αφήνει το 0 αμετάβλητο ενώ η μεταφορά το πάει στο (0,1). Πάλι εφαρμόζουμε τις δύο δράσεις ανεξάρτητα στο καινούριο σύνολο και παίρνουμε άλλα δύο στοιχεία. Συνεχίζουμε αναδρομικά ώστε το A_k να κατασκευάζεται με δενδροειδή τρόπο, όπου από κάθε στοιχείο παίρνουμε δύο καινούρια με τις δύο δράσεις. Το A είναι η ένωση όλων αυτών των συνόλων.

    Τώρα, από την κατασκευή, το A είναι αναλλοίωτο ως προς τη μεταφορά t και τη στροφή r. Επίσης προφανές είναι ότι κάθε στοιχείο του είναι είτε μια στροφή ενός άλλου, είτε μια μεταφορά(το 0 είναι στροφή του εαυτού του). Από το {A} λοιπόν εξάγουμε τα υποσύνολα {B=A+1} και C=e^{iu}A. Αυτά καλύπτουν το {A} και είναι της μορφής που ζητείται.

    Το μόνο που μένει είναι να δείξουμε ότι είναι ξένα. Αν δεν ισχύει αυτό, θα υπήρχαν x,y\in A τ.ω. e^{iu}x=y+1. Από τον τρόπο κατασκευής του {A}, αυτά τα {x,y} είναι ακέραια πολυώνυμα του e^{iu}. Επειδή τέτοια πολυώνυμα δε μπορεί να είναι μηδέν για μη μηδενικούς συντελεστές, έπεται ότι στην παραπάνω εξίσωση οι συντελεστές είναι ίδιοι στις αντίστοιχες δυνάμεις του e^{iu}. Όμως το αριστερό μέλος δεν έχει σταθερό(εννοώ αυτόν που αντιστοιχεί στη δύναμη μηδέν του εκθετικού) όρο, ενώ το δεξί δε γίνεται να μην έχει σταθερό όρο, διότι θα έπρεπε ο σταθερός όρος του y να είναι -1. Όμως κάθε στοιχείο του A, από την κατασκευή, έχει είτε σταθερό όρο μηδέν, αν προέκυψε από στροφή στο προηγούμενο βήμα, ή κάποιο θετικό ακέραιο k αν προηγήθηκαν k εφαρμογές της μεταφοράς.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Οκτώβριος 23, 2008 @ 9:55 πμ

  4. Ωραία λύση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτώβριος 23, 2008 @ 10:16 πμ

  5. Ομορφη λυση. Βλεπω οτι το συνολο Α που κατασκευαστηκε εχει στοιχεια της μορφης P(e^{iu}) οπου P ειναι πολυωνυμο με συντελεστες μη αρνητικους ακεραιους. Ερωτημα: περιεχει το Α ΟΛΟΥΣ τους μιγαδικους αυτης της μορφης?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από siskakis — Νοέμβριος 1, 2008 @ 9:57 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: