Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 28, 2008

Άνετη σύγκλιση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:56 πμ

Έστω \displaystyle \sum_{n=1}^\infty x_n μια συγκλίνουσα σειρά μη αρνητικών αριθμών. Δείξτε ότι υπάρχει μια ακολουθία y_n με y_n\to\infty τέτοια ώστε η σειρά \displaystyle \sum_{n=1}^\infty y_nx_n συγκλίνει.

Advertisements

6 Σχόλια »

  1. Αυτό το πρόβλημα αποτελεί το δυικό του θεωρήματος Abel-Dini.

    Η (y_n) που δουλεύει σε αυτό πρόβλημα είναι η αντίστροφη της ουράς της σειράς, δηλαδή η y_n=\frac{1}{\sum_{k=n}^\infty x_k}.

    Ισχύει κάτι γενικότερο. Αν 0<\alpha\leq 1 τότε η σειρά \sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{t_n^\alpha} συγκλίνει, όπου t_n=\sum_{k=n}^\infty x_k.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από petvalet — Μαΐου 31, 2008 @ 1:57 μμ

  2. Έστω ότι αυτό δεν ισχύει, δηλαδή για κάθε (y_n)_{n\in \mathbb{N}}
    ισχύει η συνεπαγωγή:
    (y_nx_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \ell^{1} \iff (y_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \ell^\infty
    Ορίζω T:\ell^\infty \to \ell^1
    T((y_n)_{n\in \mathbb{N}})=(y_nx_n)_{n\in \mathbb{N}},  \forall (y_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \ell^\infty
    Ο T καλά ορισμένος, φραγμένος, γραμμικός τελεστής, 1-1 και επί.
    (Για το επί: Έστω (z_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^1
    Θέτω y_n=\frac{z_n}{x_n}.Τότε ισχύει (y_nx_n)_{n\in \mathbb{N}}=(z_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \ell^1 \Rightarrow (y_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \ell^\infty και προφανώς T((y_n)_{n \in \mathbb{N}})=(z_n)_{n \in \mathbb{N}})
    Οι \ell^1 , \ell^\infty Banach. Από θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης υπάρχει ο αντίστροφος του T συνεπώς ο T ομοιομορφισμός, άρα διατηρεί τη διαχωρισιμότητα, όμως ο \ell^\infty δεν είναι διαχωρίσιμος. Άτοπο.

    Κοιτώντας ξανά τη λύση διαπιστώνω πως υπέθεσα x_n διάφορα του μηδενός για κάθε ν. Οπότε μάλλον πρέπει να εξετάσω και δύο υποπεριπτώσεις, δηλ.
    * x_n=0 για άπειρα το πλήθος ν οπότε θέτωντας y_n=n σε αυτά και y_n=1 στα υπόλοιπα παίρνω τη ζητούμενη ακολουθία
    και
    * x_n=0 για πεπερασμένα το πλήθος στοιχεία οπότε θεωρώ την (x_n), n\geqq N η οποία τώρα είναι μη αρνητική ξέρω ότι υπάρχει y_n ώστε… κ.ο.κ…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από halifaxpier — Μαΐου 31, 2008 @ 4:27 μμ

  3. petvalet:

    Όχι. Για παράδειγμα αν x_n=2^{-n}, τότε η ουρά είναι t_n=2^{-n+1}, επομένως

    \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{x_n}{t_n}=\infty.

    halifaxpier:

    Όχι. Αν αυτό που λέει η άσκηση δεν ισχύει, τότε

    (x_ny_n)_{n\in\mathbb N}\in\ell^1\Rightarrow η y_n δεν τείνει στο άπειρο.

    Πώς τώρα από αυτό συμπεραίνεις ότι είναι στην πραγματικότητα φραγμένη;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 31, 2008 @ 7:18 μμ

  4. Δεν είδα την τελευταία παράγραφο του σχολίου του petvalet παραπάνω (οι οθόνες 5» είναι μάλλον ακατάλληλες).
    Επομένως πρέπει να πω ότι μόνο το ότι η σειρά \sum_{n=1}^\infty\frac{x_n}{t_n} συγκλίνει δεν είναι σωστό (αποκλίνει αν η αρχική συγκλίνει).
    Το ότι η \sum_{n=1}^\infty\frac{x_n}{t_n^a} συγκλίνει για a γνήσια μικρότερο του 1 είναι σωστό. Θέλει όμως κάποια απόδειξη. Αυτό μπορεί να γίνει απ’ αυθείας χωρίς να επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα. Επίσης, η άσκηση μπορεί να λυθεί και διαφορετικά, χωρίς να χρειάζεται να μαντέψετε εκ των προτέρων μια y_n.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 1, 2008 @ 1:30 μμ

  5. Θα βρω μια τέτοια y_n όχι explicitly. Έστω μια αύξουσα ακολουθία N_k που ορίζεται ως εξής: $N_k$ είναι ο ελάχιστος φυσικός τέτοιος ώστε \sum_{n>N_k}x_n <\frac{1}{2^k}. Για κάθε μεγάλο k υπάρχει τέτοιο N_k αφού η \sum x_n συγκλίνει(η απόδειξη είναι στάνταρ στον απειροστικό λογισμό). Παίρνουμε y_n = k όταν N_k\leq n < N_{k+1}. Για τα μικρά k που τα N_k μπορεί να μην ορίζονται θέτουμε y_n=0. Η y_n λοιπόν απειρίζεται και \sum y_nx_n = \sum_{k=k_0} \sum_{N_k}^{N_{k+1}}y_nx_n \leq \sum_{k=k_0}\frac{k}{2^k} που προφανώς συγκλίνει.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Σεπτεμβρίου 16, 2008 @ 11:30 μμ

  6. Πολύ σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Σεπτεμβρίου 17, 2008 @ 12:25 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: