Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 27, 2008

Στεφάνια

Έχουμε δύο κυκλικά στεφάνια, με ακτίνες R και 2R. Το μικρότερο στεφάνι είναι τοποθετημένο στο εσωτερικό του μεγαλύτερου ώστε να εφάπτονται σε κάποιο σημείο. 

Προσδένουμε μια γραφίδα στο μικρότερο στεφάνι στο σημείο που εφάπτεται με το μεγαλύτερο και αρχίζουμε να το κυλίουμε στο εσωτερικό του μεγαλύτερου στεφανιού (το οποίο κρατάμε σταθερό.) Τι σχήμα θα σχηματίσει το ίχνος της γραφίδας;

Advertisements

7 Σχόλια »

  1. Μία ευθεία που διατρέχει τον κύκλο σαν διάμετρος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από JustAnotherGoneOff — Ιουνίου 8, 2008 @ 9:45 μμ

  2. Η απάντηση σου είναι σωστή- γιατί όμως;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από loulakis — Ιουνίου 9, 2008 @ 9:39 πμ

  3. Να με συμπαθάτε αν σας χαλάω την πιάτσα αλλά είμαι οπτικός τύπος. Δεν κατέχω τη μαθηματική ορολογία αλλά «έπαιξα» εύκολα στο μυαλό μου το πρόβλημα επειδή θέσατε ένα βασικό όρο: R -> R2, που σημαίνει ότι οποιαδήποτε απόκλιση από τον τύπο αυτόν θα έβγαζε σχήμα που μοιάζει με την σχιστή κόρη του αιλουροειδούς. Δεν ξέρω να σας το εξηγήσω αλλά αν είσαστε τόσο αυστηροί στην τεκμηρίωση, και πέρασαν δυο βδομάδες σχεδόν μέχρι να λυθεί το πρόβλημα, ας μην ξανασχοληθώ με τα γεωμετρικά σας προβλήματα.

    Ειλικρινά, δεν ξέρω από μαθηματικούς τύπους. Τα γεωμετρικά σας προβλήματα τα λύνω με οπτικές αναπαραστάσεις.

    Συγνώμη για την ενόχληση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από JustAnotherGoneOff — Ιουνίου 10, 2008 @ 2:33 πμ

  4. Και να πω τουλάχιστον αυτό που κατάλαβα από την πρώτη στιγμή. Η γραφίδα στο σημείο της μικρής στεφάνης με το σημείο όπου εφάπτονται οι στεφάνες όταν μετακινούνται, είναι ένα τόξο πάντα ίσο σε όλες τις μετακινήσεις. Έχει να κάνει με μια σχέση που αγνοώ να την εκφράσω μαθηματικά αλλά την βλέπω όταν τη φαντάζομαι. Δεν θα σας ξαναενοχλήσω.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από JustAnotherGoneOff — Ιουνίου 10, 2008 @ 2:43 πμ

  5. Ημουν πολύ λάθος στο τελευταίο σχόλιο, ακυρώστε το. Όπου είπα «είναι ένα τόξο πάντα ίσο σε όλες τις μετακινήσεις» εννοούσα «είναι ένα τόξο πάντα ευθέως ανάλογο με τη σταθερή σχέση του R με το R2 σε όλες τις μετακινήσεις».

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από JustAnotherGoneOff — Ιουνίου 10, 2008 @ 3:03 πμ

  6. JustAnotherGoneOff

    σε παρακαλώ μην το παίρνεις προσωπικά- δεν θα ήθελα να σε αποθαρρύνω να γράφεις στο blog. Στα μαθηματικά όμως η απόδειξη είναι που μας βεβαιώνει ότι ένας ισχυρισμός είναι αληθής (με την έννοια ότι προκύπτει από ένα μικρό σύνολο προτάσεων που δεχόμαστε ως αξιώματα.) Αυτό είναι σημαντικό γιατί πολλές φορές η διαίσθησή μπορεί να λαθέψει. Π.χ. στο συγκεκριμένο πρόβλημα πολλά περίεργα μπορούν να συμβούν ανάλογα με το λόγο των ακτίνων των δύο στεφανιών. Αν αυτός ο λόγος είναι ένας ρητός αριθμός τότε η γραφίδα θα διαγράψει μια κλειστή καμπύλη αν συνεχίσουμε να κυλίουμε το μικρό στεφάνι μέσα στο μεγάλο. Αν όμως ο λόγος αυτός είναι άρρητος τότε η γραφίδα δεν θα περάσει ποτέ δύο φορές από το ίδιο σημείο αλλά θα διαγράψει ένα σύνολο που είναι πυκνό στο δακτυλίο με εσωτερική ακτίνα |ρ-2r| και εξωτερική ακτίνα ρ (ρ η ακτίνα του μεγάλου στεφανιού, r η ακτίνα του μικρού). Αυτό σημαίνει ότι αν η γραφίδα αφήνει ένα ίχνος πάχους ας πούμε 0,0001mm τελικά θα «μουτζουρώσει» όλα τα σημεία αυτού του δακτυλίου. Αυτό δεν είναι και τόσο εύκολο να το φανταστεί κανείς!

    Η παρατήρησή σου- επίτρεψέ μου να την παραφράσω λίγο- ότι το τόξο στο μεγάλο στεφάνι ανάμεσα στο εκάστοτε σημείο επαφής των δύο στεφανιών και στο αρχικό σημείο επαφής (όπου είχαμε τοποθετήσει τη γραφίδα) είναι ίσο με το τόξο στο μικρό στεφάνι ανάμεσα στο σημείο επαφής των στεφανιών και στη θέση της γραφίδας
    (επειδή κυλίουμε το ένα στεφάνι μέσα στο άλλο)
    είναι μια πολύ καλή παρατήρηση και η αρχή μιας απόδειξης! Συνεχίστέ την για αποδείξετε ότι όντως η γραφίδα κινείται πάνω σε μια διάμετρο του μεγάλου στεφανιού αν ρ=2r αλλά και για να αποδείξετε και τους άλλους ισχυρισμούς που προαναφέρθηκαν.

    Και μια ιστορική παρατήρηση που έκανε ο Θέμης.
    To 1917 o Kakeya διατύπωσε το εξής πρόβλημα:

    Ανάμεσα στα επίπεδα σχήματα μέσα στα οποία μπορούμε να στρέψουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 1 κατά 360 μοίρες ποιό είναι εκείνο που έχει το μικρότερο εμβαδό;

    Σίγουρα μπορούμε να στρέψουμε το τμήμα μέσα σε ένα δίσκο διαμέτρου 1 που έχει εμβαδό \pi/4. Το ίδιο μπορούμε να κάνουμε και στο εσωτερικό ενός ισόπλευρου τριγώνου ύψους 1 (πώς; ) που έχει εμβαδό 1/\sqrt{3}. Μπορούμε όμως να στρέψουμε το τμήμα και στο εσωτερικό της καμπύλης που διαγράφει η γραφίδα μας καθώς κυλίουμε ένα στεφάνι ακτίνας 1/4 στο εσωτερικό ενός στεφανιού ακτίνας 3/4. Το σχήμα αυτό έχει εμβαδό \pi/8 και ο Kakeya διατύπωσε την εικασία πώς αυτό είναι το σχήμα με το μικρότερο εμβαδό μέσα στο οποίο μπορούμε να επιτύχουμε την περιστροφή.

    Το 1928 o Besicovitch έδειξε ότι μπορούμε να περιστρέψουμε το τμήμα μέσα σε ένα σχήμα εμβαδού οσοδήποτε μικρού.

    Δείτε και αυτό
    http://mathworld.wolfram.com/KakeyaNeedleProblem.html

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από loulakis — Ιουνίου 10, 2008 @ 1:18 μμ

  7. ΥΠΟΔΕΙΞΗ

    Έστω ότι το σημείο επαφής έχει κυλήσει κατά γωνία \theta. Επειδή τα στεφάνια έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο επαφής τους, αν βάλουμε το κέντρο του μεγάλου στεφανιού στο σημείο 0 του μιγαδικού επιπέδου και την αρχική θέση της γραφίδας στο σημείο 2R, το κέντρο του μικρού στεφανιού θα βρίσκεται στο σημείο
    \displaystyle z_c=Re^{i\theta}.
    Χρησιμοποιήστε τώρα την προηγούμενη υπόδειξη
    «το τόξο στο μεγάλο στεφάνι ανάμεσα στο εκάστοτε σημείο επαφής των δύο στεφανιών και στο αρχικό σημείο επαφής (όπου είχαμε τοποθετήσει τη γραφίδα) είναι ίσο με το τόξο στο μικρό στεφάνι ανάμεσα στο σημείο επαφής των στεφανιών και στη θέση της γραφίδας»
    για να βρείτε τη θέση της γραφίδας.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουνίου 18, 2008 @ 9:46 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: