Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 26, 2008

Μικρή αλληλοεπικάλυψη

Έστω {\mathcal F} μια πεπερασμένη οικογένεια ανοιχτών διαστημάτων. Δείξτε ότι υπάρχει {\mathcal G\subset\mathcal F} τέτοια ώστε:

(1) \displaystyle\bigcup_{I\in\mathcal G}I=\bigcup_{I\in\mathcal F}I.

(2) Κάθε σημείο ανήκει το πολύ σε δυο διαστήματα της {\mathcal G}.

Δηλαδή η \mathcal G καλύπτει ό,τι καλύπτει και η \mathcal F, αλλά τα διαστήματά της έχουν μικρή αλληλοεπικάλυψη. Μικρότερη θα σήμαινε ότι είναι ξένα. Αυτό γενικά δεν είναι εφικτό. Κοιτάξτε το «Πρόβλημα κάλυψης με διαστήματα», για να δείτε πως πρέπει να τροποποιηθεί η (1) αν στην (2) απαιτήσουμε, σώνει και καλά, τα διαστήματα να είναι ξένα.

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε 3 διαστήματα που αλληλοκαλύπτονται μπορώ να ξεφορτωθώ το ένα. Πράγματι ας θεωρήσουμε 3 αλληλοκαλυπτόμενα διαστήματα. Η ένωσή τους είναι επίσης διάστημα. Θεωρώ τα άκρα αυτού του διαστήματος.
    Αν αυτά τα άκρα ανήκουν στο ένα απο τα τρία διαστήματα, ξεφορτώνομαι τα υπόλοιπα δύο.
    Αν το ένα άκρο ανήκει πχ στο 1ο διάστημα και το άλλο στο 2ο διάστημα, ξεφορτώνομαι το 3ο αφού περιέχεται στα υπόλοιπα δύο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από halifaxpier — Μαΐου 27, 2008 @ 1:25 πμ

  2. Πολύ σωστά.
    Μπορείτε να σκεφτείτε ποιό είναι το ανάλογο αυτού του αποτελέσματος σε ανώτερες διαστάσεις, όπου αντί για διαστήματα έχουμε μπάλες;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 27, 2008 @ 11:01 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: