Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 26, 2008

Δίσκοι και σφαίρες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:22 πμ

Θεωρούμε τον κλειστό μοναδιαίο δίσκο στο επίπεδο

D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2\leq1\}

και την επιφάνεια της μοναδιαίας σφαίρας στον χώρο

S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x^2+y^2+z^2=1\}.

Υπάρχει h:D\to S συνεχής, 1-1 και επί; Υπάρχει f:D\to S συνεχής και επί;

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Ας ξεκινήσουμε μελετόντας την εικόνα του \partial D. Αφού η συνάρτησή μας είναι συνεχής, έπεται* ότι το h(\partial D) θα είναι μια κλειστή καμπύλη στο S. Η καμπύλη αυτή θα χωρίζει τη σφαίρα σε δύο τμήματα. Επιλέγουμε δύο σημεία στην σφαίρα έτσι, ώστε να ανήκουν το κάθε ένα σε διαφορετικό τμήμα της σφαίρας.

    Τώρα βρίσκουμε την προεικόνα κάθε ενός από τα σημεία στο δίσκο. Φέρνουμε το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει αυτά τα σημεία στο δίσκο και εξετάζουμε την εικόνα του μέσω της h. Επειδή η h είναι συνεχής, έπεται ότι η εικόνα της θα ενώνει τα δύο σημεία στη σφαίρα. Αυτό όμως σημαίνει ότι θα τμήσει το h(\partial D), που είναι άτοπο επειδή η h είναι 1-1.

    ———

    Επισης η διαίσθησή μου μου λέει πως ούτε η f υπάρχει, όμως μάλλον εδώ πρέπει να χρειάζεται μια καθαρά τοπολογική προσέγγιση…

    *Το παραπάνω χρειάζεται βέβαια κάποια απόδειξη, όμως πιστεύω (ελπίζω;) ότι δεν θα παρουσιάζει μεγάλη δυσκολία.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nefelh — Μαΐου 26, 2008 @ 7:22 μμ

  2. Σωστά, σε ό,τι αφορά την h (για τους αναγνώστες, \partial D είναι το σύνορο του δίσκου, δηλαδή ο κύκλος).
    Θα ήταν υπερβολή να ζητούσε κανείς να κάνεις το επιχείρημά σου πιο αυστηρό. Είναι διαισθητικά αυτονόητο ότι πάνω στη σφαίρα, μια απλή κλειστή καμπύλη (δηλαδή μια καμπύλη η οποία δεν κόβει τον εαυτό της) την χωρίζει σε δυο «κομμάτια». Αν παρ’ όλα αυτά επιχειρήσεις να το αποδείξεις θα δεις ότι είναι πολύ δύσκολο. Πρόκειται για το θεώρημα του Jordan.

    Τώρα, σε ό,τι αφορά την f, είσαι βέβαιος ότι η διαίσθησή σου είναι σωστή;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 26, 2008 @ 9:07 μμ

  3. Όχι! Καθόλου! Για την ακρίβεια νομίζω πως βρήκα ένα αρκετά απλό παράδειγμα τέτοιας f!

    Το κέντρο του κύκλου το αντιστοιχίζω στο «νότιο πόλο» της σφαίρας, κάθε ακτίνα του δίσκου σε έναν «μεσημβρινό»και όλο το σύνορο του δίσκου στον «βόρειο πόλο». Φυσικά, την συνάρτηση αυτή την είχα δεί από την αρχή, αλλά ήμουν τόσο «τυφλωμένος» από την «διαίσθησή» μου, που θεωρούσα ότι είναι ασυνεχής στο \partial D!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nefelh — Μαΐου 26, 2008 @ 10:03 μμ

  4. Ακριβώς.
    Στην πραγματικότητα, ο δίσκος χωρίς το σύνορο, δηλαδή ο ανοιχτός δίσκος, είναι ομοιομορφικός με τη σφαίρα χωρίς το βόρειο πόλο (ή οποιοδήποτε άλλο σημείο).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 26, 2008 @ 11:53 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: