Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 25, 2008

– Το Μηδέν και το Άπειρο

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:30 πμ

Έστω X ένας απειροδιάστατος διανυσματικός χώρος επί του \mathbb R. Αυτό σημαίνει ότι ο X έχει μια βάση που αποτελείται από άπειρα στοιχεία (άρα όλες οι βάσεις του έχουν άπειρα στοιχεία). Δείξτε ότι αν

\Lambda_k:X\to\mathbb R, k=1,\dots,n,

είναι μια πεπερασμένη οικογένεια γραμμικών απεικονίσεων, τότε υπάρχει μη μηδενικό x\in X τέτοιο ώστε

\Lambda_k(x)=0

για κάθε k. Αυτό δεν ισχύει αν ο X έχει πεπερασμένη διάσταση. Παράδειγμα:

X=\mathbb R^2, \Lambda_1(x,y)=x, \Lambda_2(x,y)=y.

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Ελπίζω να καταφέρω να κάνω το post.

    Έστω e_1,\cdots,e_n,\cdots στοιχεία μιας βάσης του X. Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση f: X\to X που ορίζεται από το f(x) = \sum_{i=1}^n \Lambda_i(x)e_i. Το ότι είναι γραμμική ελέγχεται άμεσα. Επίσης, δε μπορεί να είναι 1-1 γιατί στέλνει έναν απειροδιάστατο χώρο σε έναν χώρο πεπερασμένης διάστασης. Επομένως υπάρχουν x,y\in X, x\neq y, τέτοια ώστε f(x)=f(y), άρα αν d=x-y, f(d)=0 και d\neq 0. Όμως τα στοιχεία e_1,\cdots,e_n είναι γραμμικά ανεξάρτητα, επομένως όταν f(d)=0 όλοι οι συντελεστές πρέπει να είναι μηδέν, άρα \Lambda_i(d)=0 για όλα τα i μέχρι n.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Μαΐου 25, 2008 @ 3:33 μμ

  2. Ισχύει ότι \bigcap_{i=1}^{n} \ker f_i \subset \ker f \Rightarrow f \in span \{f_1 \cdots f_n\}
    Έστω τώρα ότι \bigcap_{i=1}^{n} \ker f_i =\{0\}
    Τότε \bigcap_{i=1}^{n} \ker f_i \subset \ker f, \forall f \in X^* \Rightarrow
    X^* \subset span \{f_1 \cdots f_n\} \Rightarrow \dim X^* \le n \Rightarrow \dim X πεπερασμένη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από halifaxpier — Μαΐου 25, 2008 @ 3:55 μμ

  3. ikonst και halifaxpier:

    Και οι δυο λύσεις είναι σωστές.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 25, 2008 @ 6:44 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: