Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 21, 2008

– Γιατί άτοπο;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:53 πμ

Το θεώρημα του Steinhaus λέει ότι αν το A\subset\mathbb R^2 έχει θετικό εμβαδό τότε το σύνολο

A-A=\{a-b:a,b\in A\}

περιέχει ένα δίσκο με κέντρο την αρχή των αξόνων.

Βρείτε τώρα γιατί καταλήγουμε σε άτοπο στον παρακάτω συλλογισμό.

Στο \mathbb R^2 θεωρήστε τα σύνολα x+\mathbb Q^2, x\in\mathbb R^2, δηλαδή όλες τις μεταθέσεις του \mathbb Q^2. Δυο τέτοια σύνολα είτε ταυτίζονται είτε είναι ξένα. Επίσης

\displaystyle\bigcup_{x\in\mathbb R^2}\left(x+\mathbb Q^2\right)=\mathbb R^2.

Επομένως υπάρχει κάποιο A\subset\mathbb R^2 τέτοιο ώστε τα σύνολα a+\mathbb Q^2, a\in A, είναι ανά δυο ξένα και

\displaystyle\bigcup_{a\in\mathbb A}\left(a+\mathbb Q^2\right)=\mathbb R^2.

Άρα

\displaystyle\bigcup_{q\in\mathbb Q^2}\left(q+A\right)=\mathbb R^2.

Η προηγούμενη σχέση λέει ότι το A δεν μπορεί να έχει μηδενικό εμβαδό γιατί τότε όλα τα q+A θα είχαν μηδενικό εμβαδό, συνεπώς ολόκληρο το επίπεδο θα είχε μηδενικό εμβαδό σαν αριθμήσιμη ένωση συνόλων εμβαδού μηδέν. Αλλά το A δεν μπορεί να έχει ούτε θετικό εμβαδό διότι τότε, από το θεώρημα του Steinhaus, το A-A θα περιείχε κάποιον δίσκο, άρα και κάποιο σημείο με ρητές συντεταγμένες. Δηλαδή θα υπήρχαν q\in\mathbb Q^2, a,b\in A, έτσι ώστε q=a-b. Αυτό όμως είναι αδύνατο γιατί τα σύνολα a+\mathbb Q^2 και b+\mathbb Q^2 είναι ξένα.

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Πουθενά δεν έχω… «διαιρέσει με το μηδέν». Ούτε έχω κάνει κάποιο άλλο τέτοιου τύπου φτηνό κόλπο. Μην ψάχνετε λοιπόν σ’ αυτήν την κατεύθυνση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 21, 2008 @ 7:08 μμ

  2. Αρχικά σκέφτηκα ότι πρέπει να υπάρχει κάποιο πρόβλημα με τον τρόπο που χρησιμοποιείται το αξίωμα της επιλογής. Όσο όμως και αν το εξέτασα δεν βρήκα κάτι. Επιπλέον η υπόλοιπη απόδειξη δεν φαίνεται να έχει κάποιο λάθος.

    Μήπως λοιπόν η παγίδα κρύβεται στην ερώτηση; Από τα λίγα (ομολογώ) που θυμάμαι από την θεωρία μέτρου, υπάρχουν σύνολα τα οποία είναι μη-μετρήσιμα. Αυτά τα σύνολα είναι «κακά». Από όσα έχω μάθει, είναι τα χειρότερα σύνολα που έχω συναντήσει! Δεν τα πιάνεις από πουθενά! Επιπλέον, θυμάμαι ότι πρέπει να προσπαθήσεις για να φτιάξεις τέτοια σύνολα.

    Από την στιγμή λοιπόν που δεν βλέπω κάποιο λάθος, φοβάμαι ότι το σύνολο που φτιάξαμε, επειδή μάλιστα έχει εκτεθεί στην «ραδιενέργεια» του αξιώματος επιλογής, πρόκειται για μια τερατογέννεση! Δηλαδή για ένα μη-μετρήσιμο σύνολο!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nefelh — Μαΐου 21, 2008 @ 7:17 μμ

  3. Πολύ σωστά.

    Επειδή σε αρκετούς αναγνώστες αυτά μπορεί να φαίνονται εξωγήινα, ας τα εξηγήσουμε. Δεν χρειάζεται να ξέρετε Θεωρία Μέτρου για να καταλάβετε.

    Κατ’ αρχάς, όταν ο nefelh λέει «Αξίωμα της Επιλογής» αναφέρεται στον τρόπο που βρήκαμε το σύνολο A. Στην πραγματικότητα δεν το βρήκαμε. Έχοντας μια τεράστια οικογένεια συνόλων, «επιλέξαμε» ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε διακεκριμένο μέλος και φτιάξαμε το A. Επειδή η οικογένεια είναι υπεραριθμήσιμη, είναι αδύνατο να περιγράψουμε με ποιό ακριβώς τρόπο γίνεται η επιλογή. Αυτό το εξασφαλίζει το Αξίωμα της Επιλογής. Είναι ένα «υπαρξιακό» αξίωμα και πολλοί μαθηματικοί ενίστανται όταν χρησιμοποιείται σε κάποια απόδειξη. Το χρησιμοποιούν πάντως χωρίς δεύτερη κουβέντα στο μάθημα της Άλγεβρας όταν σας λένε για κλάσεις ισοδυναμίας, σύμπλοκα σε ομάδες, και συστήματα αντιπροσώπων.

    Ερχόμαστε τώρα στο πρόβλημα. Δείξαμε ότι το A δεν έχει ούτε μηδενικό ούτε θετικό εμβαδό. Αυτό είναι άτοπο επειδή κάναμε την σιωπηρή υπόθεση ότι το A έχει κάποιο εμβαδό (δηλαδή μπορεί να του αποδοθεί έννοια εμβαδού). Συνεπώς η υπόθεση αυτή είναι λάθος.

    Άρα:

    Αν δεχτούμε το Αξίωμα της Επιλογής, είναι αδύνατο να αποδώσουμε εμβαδό σε όλα τα υποσύνολα του επιπέδου. Τέτοια σύνολα «χωρίς εμβαδό» λέγονται μη-μετρήσιμα. Ο R. Solovay έχει αποδείξει ότι υπάρχει μοντέλο της Θεωρίας Συνόλων, χωρίς το Αξίωμα της Επιλογής, στο οποίο όλα τα υποσύνολα του επιπέδου είναι μετρήσιμα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 21, 2008 @ 7:54 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: