Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 19, 2008

Αθροίσματα Δύο Τετραγώνων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 10:44 μμ

Οι φυσικοί αριθμοί του τύπου n=x^2+y^2, όπου x, y ακέραιοι, είναι τόσο απλοί να τους ορίσεις όσο και μυστηριώδεις και αποτελούν ακόμη πηγή πολλών ανοιχτών προβλημάτων στη θεωρία Αριθμών. (Παρεπιπτόντως το ίδιο δε συμβαίνει με τα αθροίσματα τριών τετραγώνων ακεραίων, που είναι πολύ εύκολο να περιγραφούν.) Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι δεν είναι όλοι οι φυσικοί αριθμοί άθροισμα δύο τετραγώνων (ενώ είναι άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων–αυτό δεν είναι τόσο εύκολο) και το πόσο μεγάλα κενά αφήνουν ανάμεσά τους αποτελεί ακόμη μυστήριο.

Δείξτε ότι υπάρχει μια σταθερά C>0 τέτοια ώστε υπάρχει άθροισμα δύο τετραγώνων ακεραίων σε κάθε διάστημα της μορφής (x, x+Cx^{1/4}), για x\ge 1.

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Σταθεροποιείστε ένα x>0 (μεγάλο) και βρείτε το μεγαλύτερο m^2 \le x. Κατόπιν βρείτε το μεγαλύτερο m^2+n^2 \le x.

    Το πολύ πόσο απέχει αυτό από το x;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 30, 2008 @ 9:31 μμ

  2. Γράφοντας m^2 \leq x < (m+1)^2 και n^2 \leq x  x - (2n+1) ύστερα από πρόσθεση των δεξιών ανισοτήτων .

    Για το n έχουμε n \leq \sqrt( x - m^2 ) <<\sqrt m << x^{\frac{1}{4}} .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ef8sof — Οκτώβριος 29, 2008 @ 6:01 πμ

  3. Εδώ μάλλον μου διέφυγε το τελευταίο σχόλιο που έγινε από τον ef8sof, για σχεδόν 4 χρόνια! Ούτε πολιτικός να ήμουν.

    Τέλος πάντων, γράφω την απάντηση όπως νομίζω εννοεί ο ef8sof αλλά λίγο πιο οργανωμένα. Πρώτα-πρώτα κάνουμε την παρατήρηση ότι αν a\ge 1 τότε αν k είναι ο μέγιστος ακέραιος τέτοιος ώστε k^2 \le a τότε προκύπτει ότι

    a-k^2 \le 3\sqrt{a}.

    Αν λοιπόν x, m, n είναι όπως στην υπόδειξη (Σχόλιο 1) τότε κατ’ αρχήν έχουμε x-m^2 \le 3\sqrt{x} και ξαναεφαρμόζοντας την ίδια παρατήρηση στο n παίρνουμε ότι

    x-m^2-n^2 \le 3\sqrt{3}x^{1/4},

    που είναι και το ζητούμενο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Σεπτεμβρίου 27, 2012 @ 11:09 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: