Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 17, 2008

– Αθροίσματα συνημιτόνων

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 1:44 πμ

Αν n_1 < \cdots < n_k είναι φυσικοί αριθμοί δείξτε ότι

\displaystyle \int_0^{2\pi} |\cos{n_1 x} + \cdots + \cos{n_k x}| dx \ge 4.

(Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από το Σταύρο Παπαδόπουλο.)
Advertisements

1 σχόλιο »

  1. Υπόδειξη:

    Είναι εν γένει δύσκολη υπόθεση να μελετήσει κανείς μια τέτοια «πολύπλοκη» συνάρτηση όπως η f(x) = \sum_{j=1}^k \cos{n_j x}.

    Μια τυπική μέθοδος για να βρει κανείς ένα κάτω φράγμα L για το ολοκλήρωμα της |f(x)| είναι η λεγόμενη μέθοδος του δυϊσμού:

    Βρίσκει κανείς κάποια συνάρτηση \phi(x) τέτοια ώστε |\phi(x)| \le 1 για κάθε x και επίσης

    \displaystyle \left| \int_0^{2\pi} f(x) \phi(x) dx\right| \ge L

    Κάτι άλλο που είναι ενδεχομένως χρήσιμο εδώ είναι ότι, υπό κάποιες προϋποθέσεις, μια συνάρτηση \phi:{}[0,2\pi] \to {\mathbb R} γράφεται ως άθροισμα τριγωνομετρικών συναρτήσεων

    \displaystyle \phi(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx  + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx.

    Αυτό ονομάζεται σειρά Fourier της \phi και έυκολα μπορεί κανείς να υπολογίσει τους συντελεστές των ημιτόνων και συνημιτόνων (φορμαλιστικά τουλάχιστον) αν εκμεταλλευτεί το γεγονός ότι οι διαφορετικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις που εμφανίζονται είναι μεταξύ τους ορθογώνιες (το γινόμενό τους ολοκληρωνόμενο στο διάστημα στο οποίο δουλεύουμε είναι 0).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 23, 2008 @ 8:34 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: