Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 14, 2008

– Ο αποτελεσματικός ηλεκτρολόγος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 9:20 πμ

Μετά το τέλος ενός πρωτοποριακού δημόσιου έργου διαπιστώνεται ότι ναι μεν ο εργολάβος είχε, όπως απαιτούνταν, περάσει 11 καλώδια από τη μια πλευρά ενός ποταμού στην άλλη (σκάβοντας ένα μικρό τούνελ κάτω από την κοίτη) αλλά δεν είχε κρατήσει λογαριασμό ποιο από τα άκρα στην πλευρά Α αντιστοιχούσε σε ποιο στην πλευρά Β. Δεν απαιτούνταν άλλωστε ρητά από τη μελέτη και τη σύμβαση.

Έτσι, ο άτυχος ηλεκτρολόγος που ανέλαβε μετά να χρησιμοποιήσει τα καλώδια βρίσκεται αντιμέτωπος με ονομασίες των άκρων Α1 έως Α11 και Β1 έως Β11 που είναι τελείως αυθαίρετες. Πρώτο πράγμα που πρέπει λοιπόν να κάνει είναι να βρει ποιο από το Α άκρα αντιστοιχεί σε ποιο Β άκρο.

Για να το πετύχει αυτό δύο πράγματα μπορεί να κάνει (δουλεύει μόνος του):

  • να δένει μεταξύ τους κάποια άκρα (βραχυκυκλώνοντάς τα) και
  • να ελέγχει με ένα λαμπάκι και μια μπαταρία αν δύο άκρα είναι μεταξύ τους βραχυκυκλωμένα.

Το να περάσει ο ηλεκτρολόγος το ποτάμι, που δεν έχει γέφυρα, είναι δύσκολη και ακριβή υπόθεση. Ο μοναδικός βαρκάρης που υπάρχει για να τον περάσει απέναντι ζητάει πολλά και δε μπορεί να του κόψει και απόδειξη ώστε να πληρωθεί τα έξοδα ο ηλεκτρολόγος από τον εργοδότη του (το Δημόσιο). Έτσι πρέπει να ξεκαθαρίσει το ποιο άκρο συνδέεται με ποιο κάνοντας τα λιγότερα δυνατά περάσματα του ποταμού.

Δείξτε ότι μπορεί να λύσει το πρόβλημά του με ένα μόνο πέρασμα, μετ’ επιστροφής.

Advertisements

6 Σχόλια »

  1. Έστω ότι είναι στην πλευρά Α. Χωρίζει τα καλώδια σε ομάδες ως εξής: στην πρώτη ομάδα που ονομάζει α, εντάσσει δύο τυχαία καλώδια, στην δεύτερη ομάδα που ονομάζει β εντάσσει άλλα δύο καλώδια τα οποία βραχυκυκλώνει μεταξύ τους, στην τρίτη ομάδα, την γ, εντάσσει τρία άλλα καλώδια τα οποία και βραχυκυκλώνει μεταξύ τους και τέλος στην τέταρτη ομάδα,την δ, εντάσσει τα υπόλοιπα τέσσσερα καλώδια τα οποία και βραχυκυκλώνει μεταξύ τους.
    Πηγαίνει τώρα στην πλευρά Β. Με το λαμπάκι και τη μπαταρία μπορεί να βρει κάθε καλώδιο με πόσα είναι βραχυκυκλωμένο. Αν δεν είναι με κανένα ανήκει στην ομάδα α, αν είναι με ένα στην β,με δύο στην γ και με τρία στην δ,άρα προσδιορίζει τις ομάδες. Ονομάζει α0 το ένα καλώδιο της α και α1 το άλλο.Επίσης ονομάζει β1 και β2 τα δύο καλώδια της β, γ1,γ2 και γ3 τα καλώδια της γ και δ1,δ2,δ3,δ4 τα καλώδια της δ. Τώρα βραχυκυκλώνει τα καλώδια α1,β1,γ1,δ1 μεταξύ τους, τα β2,γ2,δ2 μεταξύ τους και τα γ3,δ3 μεταξύ τους.
    Πηγαίνει ξανά στην πλευρά Α. Το καλώδιο της ομάδας α που δεν είναι βραχυκυκλωμένο με κανένα είναι το α0, ενώ αυτό που είναι βραχυκυκλωμένο με κάποια είναι το α1. Από την ομάδα β, αυτό που είναι βραχυκυκλωμένο με το α1 είναι το β1 και το άλλο είναι το β2. Από την ομάδα γ αυτό που είναι βραχυκυκλωμένο με το α1 είναι το γ1,αυτό που είναι με το β2 είναι το γ2 και το άλλο είναι το γ3. Τέλος από την ομάδα δ, αυτό που είναι βραχυκυκλωμένο με το α1 είναι το δ1, αυτό που είναι με το β2 είναι το δ2,αυτό που είναι με το γ3 είναι το δ3 και αυτό που έμεινε είναι το δ4.
    Με αυτό τον τρόπο έχει προσδιορίσει κάθε άκρη καλωδίου στη μία όχθη σε ποια άκρη αντιστοιχεί στην άλλη όχθη.

    Τί γίνεται όμως στην περίπτωση που είχαμε 12 καλώδια;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από steliosdes — Μαΐου 15, 2008 @ 11:20 μμ

  2. Αν αντί να βραχυκυκλώσει τα β2,γ2,δ2 βραχυκύκλωνε τα γ2,δ2,α3 (το δωδέκατο καλώδιο)……
    Όποιος κι αν είναι ο αριθμός των καλωδίων ο ηλεκτρολόγος μας μπορεί να τα καταφέρει με ένα ταξίδι μετ’ επιστροφής.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από loulakis — Μαΐου 16, 2008 @ 3:36 πμ

  3. Εκτός φυσικά αν τα καλώδια είναι δύο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 17, 2008 @ 1:31 πμ

  4. Αν τα καλώδια είναι πέντε τί μπορεί να κάνει;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από steliosdes — Μαΐου 17, 2008 @ 1:23 μμ

  5. Υπάρχει πάντα ένα «καλώδιο» που μπορεί ή όχι να χρησιμοποιήσει- η γη. Αυτό βοηθάει όταν τα καλώδια είναι \frac{(n+2)(n-1)}{2}. Αυτό φυσικά είναι πέρα από τους κανόνες που τέθηκαν αλλά είναι κάτι που μπορεί να κάνει.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από loulakis — Μαΐου 17, 2008 @ 7:27 μμ

  6. o—o o—o o Πλευρά Α

    o o—-o o—o Πλευρά Β

    Κάνουμε πρώτα τις συνδέσεις που βλέπετε στην πλευρά Α. Από την άλλη πλευρά ενώνουμε το ελεύθερο με ένα από τα άλλα, έστω το Χ, το γείτονα του Χ με ένα από τα άλλα, έστω Υ, το γείτονα του Υ με ένα από τα άλλα, κλπ.

    Πίσω στην πλευρά Β, το Χ θα είναι ο γείτονας αυτού που είχαμε αφήσει ελεύθερο στην πλευρά Α, κλπ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 18, 2008 @ 12:45 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: