Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 11, 2008

– Οι Πραγματικοί επί των Ρητών

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 10:59 μμ

Θεωρήστε το \mathbb R σαν διανυσματικό χώρο επί του \mathbb Q. Δηλαδή τα «διανύσματα» είναι πραγματικοί αριθμοί, αλλά τα «βαθμωτά» ρητοί. Δείξτε ότι στον χώρο αυτό υπάρχουν γραμμικές απεικονίσεις οι οποίες δεν είναι συνεχείς.

Advertisements

13 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Μην προσπαθήσετε να «κατασκευάσετε» μια τέτοια απεικόνιση. Χρησιμοποιήστε τα εξής γνωστά από τη Γραμμική Άλγεβρα:

    1. Κάθε σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων στοιχείων επεκτείνεται σε μια βάση.

    2. Κάθε γραμμική απεικόνιση καθορίζεται από τις τιμές της πάνω στα στοιχεία μιας βάσης.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 12, 2008 @ 11:18 μμ

  2. Ανεξάρτητα από την παραπάνω υπόδειξη, το πρόβλημα αυτό δεν είναι τόσο αθώο όσο δείχνει. Αποδεικνύεται (δεν χρειάζεται φυσικά να το αποδείξετε) ότι μια τέτοια απεικόνιση δεν είναι, όπως λέμε στη Θεωρία Μέτρου, Lebesgue μετρήσιμη. Αν δεν ξέρετε Θεωρία Μέτρου μπορείτε να αρκεστείτε στο ότι ένα μη μετρήσιμο αντικείμενο (συνάρτηση ή σύνολο) είναι κάτι ανώμαλο πέρα από κάθε φαντασία. Για παράδειγμα, το παράδοξο Banach-Tarski λέει ότι στον 3-διάστατο Ευκλείδειο χώρο, είναι δυνατό να κόψετε τη μοναδιαία μπάλα σε πεπερασμένο πλήθος μη μετρήσιμα κομμάτια, να τα μετακινήσετε και στη συνέχεια να τα ξαναενώσετε και να πάρετε ΔΥΟ μοναδιαίες μπάλες! Για μια στοιχειώδη παρουσίαση αυτού του παραδόξου δείτε:

    Karl Stromberg, The Banach-Tarski paradox, Amer. Math. Monthly 86 (1979), no. 3, 151–161.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 13, 2008 @ 12:37 πμ

  3. Ελπίζω να μη γράφω χαζομάρες…
    Θεωρώ μια βάση {x_1, x_2, ... x_n, ...} και την απεικόνιση f που σε κάθε στοιχείο του \mathbb R δίνει τον (ρητό) συντελεστή ενός συγκεκριμένου στοιχείου της βάσης (πχ. x_1 ), στο ανάπτυγμα με το οποίο εκφράζεται το συγκεκριμένο στοιχείο στη βάση.
    Η f γραμμική.

    Θεωρώ μια ακολουθία ρητών q_n η οποία τείνει σε έναν άρρητο r. Έστω z_n=q_nx_1, z_n \rightarrow rx_1
    f(z_n)=q_n \rightarrow r
    Αν ήταν συνεχής θα έπρεπε f(rx_1)=r όμως η συνάρτηση f δεν παίρνει τιμές στους άρρητους.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από halifaxpier — Μαΐου 13, 2008 @ 1:36 πμ

  4. Χμμ, είναι λίγο δύσκολο καταρχήν να υπάρχει αριθμήσιμη βάση των πραγματικών πάνω από τους ρητούς, έτσι δεν είναι;

    Αυτό που μπορείς να κάνεις είναι να πάρεις μια γραμμική συνάρτηση και να δεις τι κάνει στους ρητούς, καταρχήν. Λόγω της f(ax)=af(x) για ρητό a, έπεται ότι περιορισμένη στους ρητούς, η f(x) έχει τη μορφή ax, όποια και αν είναι η επέκτασή της στους υπόλοιπους πραγματικούς. Όμως αν η f ήταν συνεχής, το f(x) = ax θα ίσχυε για κάθε πραγματικό αριθμό. Μπορείς να διαλέξεις το f(1) και το f(π) ανεξάρτητα το ένα από το άλλο;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Μαΐου 13, 2008 @ 2:09 πμ

  5. Η απόδειξη του Halifaxpier είναι απόλυτα σωστή.
    Απλά, για να είμαστε τυπικά σωστοί πρέπει να πούμε ότι ο χώρος αυτός δεν μπορεί να έχει αριθμήσιμη βάση. Αυτό όμως δεν έχει καμία επίδραση στην απόδειξη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 13, 2008 @ 2:19 πμ

  6. Δεν τη διάβασα την απόδειξη, απλά παρατήρησα ότι ο χώρος δεν είχε αριθμήσιμη βάση. Τώρα που τη διαβάζω βλέπω ότι ουσιαστικά το παιδί κάνει το ίδιο που έγραψα κι εγώ, απλά με λίγο διαφορετικό τρόπο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Μαΐου 13, 2008 @ 3:17 πμ

  7. Στο 1ο σχολιο εννοειτε οτι μια τετοια απεικονιση θα ειναι ή συνεχης ή μη μετρησιμη;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από partalopoulo — Ιουνίου 17, 2009 @ 9:11 πμ

  8. Ακριβώς. Γραμμική επί των ρητών σημαίνει ότι ικανοποιεί την συναρτησιακή εξίσωση τού Cauchy.
    Αν τώρα μια τέτοια συνάρτηση είναι μετρήσιμη τότε είναι κατ’ ανάγκη γραμμική με τη συνηθισμένη έννοια.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 17, 2009 @ 10:44 πμ

  9. Θέμη, υπάρχει μετρήσιμη βάση (κατά Lebesque). Παίρνουμε το σύνολο του Cantor C και βλέπουμε ότι το C+C περιέχει το [0,1]. Άρα το C είναι παράγον σύνολο και άρα (θεώρημα) περιέχει μια βάση. Αυτή η βάση θα έχει σίγουρα μέτρο Lebesque 0 αφού το C έχει μέτρο 0 αλλά δεν θα είναι απαραίτητα Borel. Φαντάζομαι δεν μπορεί να υπάρχει βάση που να είναι Borel αλλά δεν βλέπω προς το παρόν πως να το δείξω.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Δημήτρης — Ιουνίου 17, 2009 @ 1:00 μμ

  10. Ούτε εγώ το βλέπω.
    Μια συνάρτηση πάντως η οποία είναι γραμμική επί των ρητών είτε είναι γραμμική επί των πραγματικών είτε είναι μη-μετρήσιμη.
    Αναφέρομαι στην μετρησιμότητα τής συνάρτησης, όχι τής βάσης.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 17, 2009 @ 2:39 μμ

  11. Ωχ, ναι! Έχεις δίκιο. Άλλα διάβασα και άλλα κατάλαβα. Το ερώτημα όμως για το αν η βάση μπορεί να είναι Borel φαίνεται ενδιαφέρον. Αν ισχύει ότι για Α,Β Borel τότε A+B Borel τότε νομίζω μπορώ να δείξω ότι η βάση δεν είναι Borel. Αλλά δεν ξέρω πως να δείξω το πιο πάνω.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Δημήτρης — Ιουνίου 17, 2009 @ 4:55 μμ

  12. Το αλγεβρικό άθροισμα δυο συνόλων Borel μπορεί να μην είναι Borel. Ένα παράδειγμα βρίσκεται στο:

    J. Cichon, A. Jasinski, «A note on algebraic sums of subsets of the real line»
    Real Anal. Exchange 28 (2002/2003), no. 2, 493-499.

    Τα δυο σύνολα είναι μάλιστα G_\delta.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 17, 2009 @ 9:59 μμ

  13. Ευχαριστώ. Θα το κοιτάξω. Το ότι τα σύνολα είναι G_{\delta} δεν είναι περίεργο επειδή αν Α,Β Borel, τότε το Α+Β είναι αριθμήσιμη ένωση συνόλων της μορφής A_i + B_j όπου τα A_i και B_j είναι G_{\delta}

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Δημήτρης — Ιουνίου 18, 2009 @ 11:57 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: