Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 11, 2008

– Μονότονες ανωμαλίες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 2:25 πμ

Βρείτε μια μονότονη συνάρτηση από τους πραγματικούς στους πραγματικούς η οποία σε κάθε ανοιχτό διάστημα να έχει τουλάχιστο ένα (άρα άπειρα) σημεία ασυνέχειας.

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Βρείτε μια αύξουσα συνάρτηση η οποία είναι ασυνεχής σε κάθε ρητό. Αν θέλαμε να βρούμε μια αύξουσα συνάρτηση η οποία να ήταν ασυνεχής σε κάθε φυσικό, μια προφανής επιλογή θα ήταν η «σκάλα». Ένας μάλλον εκκεντρικός τρόπος να γράψετε τύπο για τη συνάρτηση αυτή είναι ο εξής:

    \displaystyle f(x)=\sum_{n\in\mathbb N:\ n\leq x}1

    Πώς μπορείτε να τροποποιήσετε τον παραπάνω τύπο στην περίπτωση των ρητών;

    Μην προσπαθήσετε να βρείτε μια αύξουσα συνάρτηση η οποία να είναι ασυνεχής σε κάθε άρρητο. Και αυτή θα έλυνε το πρόβλημα. Το ζήτημα είναι ότι δεν υπάρχει…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 12, 2008 @ 12:16 πμ

  2. Θεωρούμε {q_n} μια αρίθμηση των ρητών και ορίζουμε την γνησίως αύξουσα συνάρτηση f:{\mathbb R} \to {\mathbb R} με f(x)=\sum_{\{n:q_n<x\}}2^{-n}.

    Η f είναι δεξιά συνεχής παντού και ασυνεχής ακριβώς στους ρητούς. (Είναι μια συνάρτηση κατανομής.)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από petvalet — Μαΐου 31, 2008 @ 2:01 μμ

  3. Πολύ σωστά.
    Η συνάρτηση αυτή «κάνει άλμα» σε κάθε ρητό αριθμό.

    Μια μονότονη συνάρτηση μπορεί να έχει μόνο τέτοιου είδους ασυνέχειες, αφού τα πλευρικά όρια σε κάθε σημείο υπάρχουν. Αν λοιπόν, f είναι μια μονότονη συνάρτηση, και για κάθε σημείο ασυνέχειας a κάνουμε την αντιστοίχιση

    \displaystyle a\mapsto\left(\lim_{t\to a^{-}}f(t),\lim_{t\to a^{+}}f(t)\right)

    βλέπουμε ότι τα διαστήματα είναι ανά δυο ξένα. Επομένως το σύνολο των σημείων ασυνέχειας είναι αριθμήσιμο. Έτσι δεν υπάρχει μονότονη συνάρτηση η οποία να είναι ασυνεχής στους άρρητους. Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει καμία συνάρτηση η οποία να είναι ασυνεχής ακριβώς στους άρρητους. Η απόδειξη όμως είναι διαφορετική (θεώρημα κατηγορίας του Baire).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 31, 2008 @ 7:41 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: