Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 11, 2008

– Βαθμός πίνακα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 2:21 πμ

Βαθμός ενός m \times n πίνακα είναι το μέγιστο πλήθος στηλών του που μπορεί κανείς να επιλέξει ώστε αυτές να είναι γραμμικά ανεξάρτητες.

Τα διανύσματα v_1,\ldots,v_r λέγονται γραμμικά ανεξάρτητα πάνω από το σώμα K αν για κάθε επιλογή k_1,\ldots,k_r \in K που δεν είναι όλα 0, το διάνυσμα

k_1 v_1 + \cdots + k_r v_r

δεν είναι το μηδενικό.

Η γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων εξαρτάται από το σώμα K ως προς το οποίο την εξετάζουμε. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 1 και \sqrt 2 είναι γραμμικά ανεξάρτητοι πάνω από τους ρητούς αλλά όχι πάνω από τους πραγματικούς.

Δείξτε ότι ο βαθμός ενός πίνακα με ρητά στοιχεία είναι ο ίδιος πάνω από το {\mathbb Q} (το σώμα των ρητών αριθμών) και πάνω από οποιοδήποτε σώμα που περιέχει τους ρητούς, για παράδειγμα τους πραγματικούς αριθμούς.

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Η πιο γρήγορη απάντηση που μπορώ να δώσω είναι ότι ένας ρητός πίνακας έχει rank=k αν και μόνο αν υπάρχει ένας k\times k minor που να μην είναι 0, κάτι ανεξάρτητο από την επέκταση στην οποία βλέπουμε τον πίνακα.

    Μία άλλη αιτιολόγηση που δεν απαιτεί να μπλέκεις με minors είναι ότι η απαλοιφή Gauss φέρνει έναν οποιοδήποτε ρητό πίνακα σε άνω τριγωνική μορφή όπου οι στήλες με pivots είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Επειδή η απαλοιφή Gauss δεν αλλάζει το rank του πίνακα και οι πράξεις είναι όλες ρητές(δηλαδή η απαλοιφή Gauss αποτελείται από πολλαπλασιασμούς με ρητούς πίνακες), έπεται ότι ο τελικός πίνακας θα έχει ίδιο rank με τον αρχικό, σε όποιο σώμα κι αν τον κοιτούσαμε(που περιέχει φυσικά τους ρητούς).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Μαΐου 13, 2008 @ 2:34 πμ

  2. Σωστά και τα δύο. Η δεύτερη μέθοδος είναι μάλλον πιο στοιχειώδης (απαλοιφή Gauss).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 13, 2008 @ 9:12 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: