Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 9, 2008

– Ένα περίπλοκο βαθμολογικό σύστημα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:52 πμ

Αντιγράφω από την ιστοσελίδα ενός μαθήματος Μιγαδικής Ανάλυσης που δίδαξα το 1997:

Βαθμολογικό σύστημα: Εστω I ο βαθμός της εξέτασης του Ιανουαρίου, M ο βαθμός της προόδου και T ο βαθμός των ασκήσεων.
Ο τελικός βαθμός για την περίοδο του Ιανουαρίου θα είναι το μέγιστο των:

  1. I
  2. 0.6 I + 0.4 M
  3. 0.6 I + 0.4 T
  4. 0.6 I + 0.2 M + 0.2 T

Για την περίοδο Σεπτεμβρίου ο τελικός βαθμός είναι αυτός της εξέτασης και μόνο.

Ασκηση 1: Μπορείτε να παραλείψετε μια από τις παραπάνω 4 ποσότητες χωρίς να αλλάξει το βαθμολογικό σύστημα για την περίοδο Ιανουαρίου;

Μπορείτε να λύσετε αυτή την άσκηση;

Advertisements

9 Σχόλια »

  1. Δεν είμαι μαθηματικός και θα το πω περιφραστικά 🙂
    max(0.6I + 0.4M, 0.6I + 0.4T) -> max(M,T)
    max(0.6I + 0.2M + 0.2T , 0.6I + 0.4T) -> max(M,T) ,
    Άρα η τέταρτη ποσότητα δεν χρειάζεται!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από woci — Μαΐου 9, 2008 @ 12:38 μμ

  2. Σωστά. Να το γράψω λίγο πιο καθαρά:

    Αν M \ge T τότε η 2η ποσότητα είναι \ge από τις 3,4.

    Αλλιώς, αν δηλ. M<T τότε η 3η ποσότητα είναι μεγαλύτερη από τις 2, 4.

    Άρα σε καμιά περίπτωση δε χρειάζεται η 4.

    Ας γράψουμε τους συντελεστές των (I, M, T) σε διανύσματα ως εξής:

    c_1 = (1, 0, 0)

    c_2 = (0.6, 0.4, 0)

    c_3 = (0.6, 0, 0.4)

    c_4 = (0.6, 0.2, 0.2)

    Παρατηρείστε ότι c_4 = 0.5 c_2 + 0.5 c_3 και ότι αυτό σημαίνει ότι ο 4ος τρόπος βαθμολόγησης δίνει πάντα το μέσο όρο των 2 και 3, και άρα δε μπορεί να είναι μεγαλύτερος και από τους δύο αυτούς τρόπους.

    Μπορείτε να φτιάξετε 4 τρόπους βαθμολόγησης όπως παραπάνω (συντελεστές δηλ. για τις τρεις μεταβλητές I, M, T) έτσι ώστε το συνολικό βάρος του κάθε τρόπου να είναι 1 και να μην «περισσεύει» κανείς τρόπος;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 9, 2008 @ 1:01 μμ

  3. Μπορούμε να πάρουμε τους εξής τέσσερις τρόπους:
    1. 0,5 Ι + 0,5 Μ
    2. 0,5 Ι + 0,5 Τ
    3. 0,5 Μ + 0,5 Τ
    4. 0,8 Ι + 0,1 Μ + 0,1 Τ

    Αν (Ι,Μ,Τ)=(10,10,0) συμφέρει ο πρώτος, αν (Ι,Μ,Τ)=(10,0,10) συμφέρει ο δεύτερος, αν (Ι,Μ,Τ)=(0,10,10) συμφέρει ο τρίτος, ενώ αν (Ι,Μ,Τ)=(10,9,8 ) βγάζει μεγαλύτερο τελικό βαθμό ο τέταρτος, οπότε κανένας τρόπος βαθμολόγησης δε περισσεύει.

    Με πέντε τρόπους;
    Ποιός είναι ο μέγιστος αριθμός τρόπων βαθμολόγησης που μπορούμε να έχουμε ώστε κανένας να μην «περισσεύει»;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από steliosdes — Μαΐου 9, 2008 @ 9:04 μμ

  4. Ωραία.

    Μπορείτε να δώσετε κάποια γεωμετρική συνθήκη, όσο το δυνατό πιο απλή, για τα διανύσματα c_1,\ldots,c_n ώστε να μην «περισσεύει» κανείς από τους τρόπους βαθμολόγησης;

    Με αυτό θα ξεκαθαρίσετε τι γίνεται με το n.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 9, 2008 @ 10:13 μμ

  5. Αν ορίσουμε c_n=\left(1-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2},\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+2}\right) τότε ισχύει ότι

    \forall n\ge 1 φυσικό \exists I_n,M_n,T_n \in {}[0,10] :
    \ \ \ \langle c_n,(I_n,M_n,T_n)\rangle > \langle c_m,(I_n,M_n,T_n)\rangle, \forall m\ge 1 με m\neq n

    ή με άλλα λόγια ότι για κάθε n υπάρχει βαθμολογία που καθιστά τον n-ιοστό τρόπο βαθμολόγησης συμφερότερο, δηλαδή κανένας τρόπος βαθμολόγησης δε περισσεύει.

    Πιο συγκεκριμένα μπορούμε να πάρουμε (I_n,M_n,T_n)=
    \left(\frac{2n+1}{5n+8}\cdot 10,\frac{2n}{5n+8}\cdot 10,\frac{2n^3+6n^2+8n+5}{(n+1)^2(5n+8)}\cdot 10\right) οπότε να ισχύει

    \langle c_n,(I_n,M_n,T_n)\rangle-\langle c_m,(I_n,M_n,T_n)\rangle=
    =\frac{(m-n)^2}{(m+1)(m+2)(n+1)^2(5n+8)}>0.

    Με βάση τα παραπάνω καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το πλήθος των τρόπων βαθμολόγησης μπορεί να γίνει οσοδήποτε μεγάλο θέλουμε.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από steliosdes — Μαΐου 11, 2008 @ 3:32 πμ

  6. Όντως μπορούμε να πάρουμε το n οσοδήποτε μεγάλο. Όχι μόνο αυτό, αλλά μπορουμε να πάρουμε και n=\infty (αυτό είναι βέβαια διαφορετικό από το να μπορούμε να το πάρουμε οσοδήποτε μεγάλο).

    Όμως θα επανέλθω στο προηγούμενό μου ερώτημα:

    Βρείτε ένα τρόπο να κρίνετε αν ένα από τα c_1,\ldots,c_n περισσεύει. Αλλιώς, διατυπώστε μια συνθήκη για τα c_1,\ldots,c_n ώστε να μην περισσεύει κανένα.

    Για ξεκίνημα σκεφτείτε τι γίνεται αν, για παράδειγμα,

    c_5 = 0.3 c_1 + 0.4 c_2 + 0.2 c_3 + 0.1 c_4.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 11, 2008 @ 12:32 μμ

  7. Αρκεί να μη γράφετε κάποιο c_k ως γραμμικός συνδυασμός κάποιον άλλων όρων με θετικούς συντελεστές, γιατί τότε το c_k θα περισσεύει.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από steliosdes — Μαΐου 11, 2008 @ 2:13 μμ

  8. Αν λοιπόν κάποιο c_k γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός με θετικούς συντελεστές κάποιων άλλων c_j, τότε, επειδή όλα τα c_i έχουν άθροισμα συντεταγμένων 1, έπεται ότι το άθροισμα των συντελεστών στο γραμμικό συνδυασμό θα είναι 1.

    Ένας τέτοιος γραμμικός συνδυασμός (μη αρνητικοί συντελεστές, άθροισμα 1) λέγεται κυρτός συνδυασμός και παίζει το ρόλο γενικευμένου μέσου όρου.

    Είναι πολύ απλό να δει κανείς ότι ένα τέτοιο c_k περισσεύει.

    Μένει όμως να δειχτεί ότι ένα c_k που δε γράφεται ως κυρτός συνδυασμός άλλων c_j δεν περισσεύει.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 11, 2008 @ 3:48 μμ

  9. Υπόδειξη:

    Τα σημεία c_1,\ldots,c_n ανήκουν όλα στο επίπεδο x+y+z=1. Υποθέστε ότι κανένα από τα c_i δε γράφεται ως κυρτός συνδυασμός άλλων σημείων c_j. Τα σημεία c_i είναι τότε κορυφές ενός κυρτού πολυγώνου.

    Δείξτε ότι δεν περισσεύει κανένα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαΐου 13, 2008 @ 1:50 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: