Στο σχήμα φαίνονται οι 20 πρώτοι όροι της ακολουθίας . Δείξτε ότι τα φαινόμενα απατούν: για κάθε υπάρχουν έτσι ώστε
.
Στο σχήμα φαίνονται οι 20 πρώτοι όροι της ακολουθίας . Δείξτε ότι τα φαινόμενα απατούν: για κάθε υπάρχουν έτσι ώστε
.
RSS feed for comments on this post. TrackBack URI
Εδώ θα τοποθετούμε προβλήματα μαθηματικών που θεωρούμε όμορφα. Τα πιο πολλά από αυτά δεν είναι τελείως στοιχειώδη και, κατά κανόνα, απαιτούν κάποιες γνώσεις μαθηματικών που αποκτά κανείς στο Πανεπιστήμιο (ή τουλάχιστον θα έπρεπε ...).
Στα σχόλια κάθε προβλήματος μπορείτε να γράφετε λύσεις, ιδέες, αντιρρήσεις, ερωτήσεις, σχολιασμούς, κλπ.
Αν έχετε κάποιο καλό πρόβλημα που θα θέλατε να αναρτηθεί εδώ στείλτε μας το με e-mail.
Ποιοί συνεισφέρουν προβλήματα:
Themis Mitsis στη Όρια ορίων και η χαρακτηριστικ… | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Όρια ορίων και η χαρακτηριστικ… | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Πόσα παιδιά είναι αγόρια; | |
George Rizopulos στη Μπορείτε να σκοτώσετε τον… | |
Mihalis Kolountzakis στη Μπορείτε να σκοτώσετε τον… | |
George Rizopulos στη Μπορείτε να σκοτώσετε τον… | |
George Rizopulos στη ΕΡΕΥΝΑ: «Έχετε απατήσει τη/ο σ… | |
George Rizopulos στη ΕΡΕΥΝΑ: «Έχετε απατήσει τη/ο σ… | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟ… στη Απλά γραφήματα | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟ… στη Απλά γραφήματα | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟ… στη Απλά γραφήματα |
Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.
Καταρχήν έχουμε την ταυτότητα από όπου παίρνουμε .
Αν βρούμε ακεραίους τέτοιους ώστε τότε θέτοντας θα έχουμε από τη lipschitz συνέχεια οπότε από όπου έπεται το ζητούμενο. Όμως το παραπάνω ερώτημα είναι μια απλή εφαρμογή της αρχιμείδιας ιδιότητας ή πχ. αν έχεις έναν πραγματικό και θες τ.ω. γράψε , πάρε ρητό που να απέχει από το λιγότερο από 1/2 και τότε οπότε άρα με καινούρια που είναι τα προηγούμενα πολλαπλασιασμένα με έναν ίδιο ακέραιο μεγαλύτερο του έχουμε
Συγγνώμη για τυπογραφικά.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από ikonst — 8 Μαΐου, 2008 @ 4:06 μμ
H λύση σου μέχρι το σημείο που λες ότι πρέπει να βρούμε τέτοια ώστε είναι σωστή. Την ξαναγράφω ώστε να μπορεί να διαβάζεται…
,
το οποίο είναι μικρότερο από
.
Άρα αν βρούμε δυο τέτοια και τελειώσαμε. Από κει και κάτω όμως δεν κάνει νόημα. Ξαναδές καλύτερα τί ακριβώς έχεις γράψει. Υποθέτω ότι εννοείς ότι παίρνουμε ρητό ο οποίος να απέχει από το απόσταση μικρότερη από . Αλλά τότε και όχι όπως είναι αυτό που υποθέτω ότι ήθελες να γράψεις. Έχεις χάσει ένα στο δεξιά μέλος.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Themis Mitsis — 8 Μαΐου, 2008 @ 8:40 μμ
Υπόδειξη 1:
Μπορείτε να συμπληρώσετε την απόδειξη που ξεκίνησε ο ikonst παραπάνω, δείχνοντας ότι όντως για κάθε πραγματικό και υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε .
Μπορείτε όμως να κάνετε κάτι πιο απλό: η είναι φραγμένη, άρα…
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Themis Mitsis — 9 Μαΐου, 2008 @ 4:58 μμ
Υπόδειξη 2:
Το θεώρημα Bolzano-Weierstrass σας λέει κάτι;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Themis Mitsis — 25 Ιουνίου, 2008 @ 3:53 μμ
Ως προς τη συμπλήρωση της προηγούμενης απόδειξης, έστω ένα ε>0 και α πραγματικός αριθμός.Τότε υπάρχει ν φυσικός ώστε 1/(ν+1)<ε.Τότε όμως απο το θεώρημα του Dirichlet υπάρχουν όντως ρ,κ ακέραιοι ώστε |ρ-κα|<1/(ν+1)<ε.
Αλλά όντως πιο απλά, αφού είναι φραγμένη, θα έχει συγκλίνουσα υπακολουθία και αφού η υπακολουθία αυτή είναι συγκλίνουσα, τότε η υπακολουθία αυτή θα είναι και Cauchy.Και τότε όντως το συμπέρασμα έπεται.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από olack — 2 Μαΐου, 2010 @ 9:07 μμ
Σωστά. Πρέπει επίσης να παρατηρήσεις ότι η ακολουθία είναι 1-1 διαφορετικά δεν θα υπήρχε εγγύηση ότι η διαφορά είναι γνήσια θετική.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Themis Mitsis — 2 Μαΐου, 2010 @ 11:07 μμ