Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 8, 2008

Υπερ-σειρές

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 2:24 πμ

Στο Λύκειο μαθαίνουμε ότι \displaystyle\sum_{k=1}^nx_k σημαίνει x_1+\cdots+x_n.

Στο Πανεπιστήμιο μαθαίνουμε ότι \displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k σημαίνει \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nx_k (αν το όριο υπάρχει και αν το μαθαίνουμε…)

Τώρα, αν \{x_i:i\in I\} είναι μια αυθαίρετη οικογένεια μη αρνητικών πραγματικών αριθμών, ας ορίσουμε την «υπερ-σειρά»

\displaystyle\sum_{i\in I}x_i:=\sup\left\{\sum_{i\in F}x_i:F\subset I,\ |F|<\infty\ \right\}.

Δηλαδή παίρνουμε το supremum όλων των πεπερασμένων αθροισμάτων από στοιχεία της οικογένειας (|F|<\infty σημαίνει ότι το σύνολο F είναι πεπερασμένο). Δείξτε ότι αν \displaystyle\sum_{i\in I}x_i<\infty, δηλαδή αν η υπερ-σειρά «συγκλίνει», τότε το πολύ αριθμήσιμο πλήθος x_i είναι μη μηδενικά.

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Έστω A=\{x_i:x_i>0\} το σύνολο των θετικών x_i και A_n=\{x_i:x_i>1/n\}. Τότε έχουμε ότι A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n. Αν το σύνολο A είναι μη αριθμήσιμο τότε θα είναι και τουλάχιστον ένα από τα A_n για κάποιο n, άρα η υπερ-σειρά θα αποκλίνει.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από zzelle — Μαΐου 9, 2008 @ 4:08 πμ

  2. Πολύ σωστά. Αν το A_n ήταν άπειρο για κάποιο n τότε θα είχαμε \displaystyle\sum_{i\in I}x_i>\frac kn για κάθε k\in\mathbb N, άρα η υπερ-σειρά θα απέκλινε.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 9, 2008 @ 1:38 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: