Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 8, 2008

Παντού πολυώνυμα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 12:12 πμ

Υπάρχει ακολουθία πολυωνύμων βαθμού το πολύ n (σε κάποιο φραγμένο διάστημα) η οποία να συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάτι που δεν είναι πολυώνυμο;

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Έστω f_1,f_2,...,f_k,... ακολουθία πολυωνύμων με βαθμό το πολύ n που συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνάρτηση f τότε και οι παράγωγοι (n+1) τάξης των f_1,f_2,...,f_k,... θα συκλίνουν ομοιόμορφα στην (n+1)-ιοστή παράγωγο της f. Όμως οι (n+1)-ιοστές παράγωγοι των f_1,f_2,...,f_k,... είναι όλες 0 γιατί ο βαθμός των f_1,f_2,...,f_k,... είναι το πολύ n, άρα f^{(n+1)}(x)=0 και ολοκληρώνοντας n+1 φορές βρίσκουμε ότι η f είναι και αυτή πολυώνυμο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από steliosdes — Μαΐου 11, 2008 @ 3:56 πμ

  2. Πράγματι η f πρέπει να είναι πολυώνυμο. Το επιχείρημά σου όμως δεν είναι σωστό.
    Η ομοιόμορφη σύγκλιση, γενικά, δεν διατηρεί την παραγωγισιμότητα. Είναι δυνατό μια ακολουθία απείρως παραγωγίσιμων συναρτήσεων να συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια πουθενά παραγωγίσιμη συνάρτηση. Επίσης ακόμα κι’ αν το όριο είναι παραγωγίσιμο, μπορεί η ακολουθία των παραγώγων να μην συγκλίνει.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 11, 2008 @ 2:11 μμ

  3. Υπόδειξη:

    Ας πούμε ότι είμαστε σε κάποιο κλειστό και φραγμένο διάστημα I. Αν
    p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0
    θέτουμε
    \|p\|=\max\{|p(x)|:x\in I\}
    \displaystyle\|p\|_1=\sum_{k=0}^n|a_k|.
    Δείξτε ότι υπάρχει μια σταθερά C>0, τέτοια ώστε
    \|p\|_1\leq C\|p\|
    για κάθε p (βαθμού το πολύ n). Έτσι αν μια ακολουθία τέτοιων πολυωνύμων συγκλίνει ομοιόμορφα, τί μπορείτε να πείτε για τους συντελεστές τους;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 11, 2008 @ 8:17 μμ

  4. Ναι έχετε δίκιο. Απλά υπέθεσα ότι στην περίπτωση των πολυωνύμων θα ήταν διαφορετικά τα πράγματα. Σκέφτηκα όμως και έναν άλλο τρόπο προσέγγισης.

    Έστω ότι η ακολουθία των πολυωνύμων ορίζεται ως f_k(x)=a_{k,n}x^n+a_{k,n-1}x^{n-1}+...+a_{k,0}.

    Επειδή τα διανύσματα (1,0,...,0),(1,1,...,1),(1,2,...,2^n),...,(1,n,...,n^n) αποτελούν βάση του \mathbb R^{n+1} (πίνακας Vandermonde) συνεπάγεται ότι οποιοδήποτε διάνυσμα της μορφής (0,..,0,1,0,...,0) γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός τους. Συνεπώς ισχύει ότι

    \forall i \in \{0,1,...,n\} \ \exists c_{0,i},c_{1,i},...,c_{n,i} :
    a_{k,i}=\sum_{j=0}^n{\left(c_{j,i}\cdot \sum_{r=0}^n{a_{k,r}j^r}\right)}=
    =\sum_{j=0}^n{c_{j,i}\cdot f_k(j)}.

    Παίρνωντας τώρα στην παραπάνω σχέση όρια έχουμε
    \lim_{k \to \infty}{a_{k,i}}=\sum_{j=0}^n{c_{j,i}\cdot f(j)},
    δηλαδή η ακολουθία a_{k,i} συγκλίνει για κάθε i \in \{0,1,...,n\}.

    Άρα η ακολουθία f_k(x) συγκλίνει στην g(x)=\left(\lim_{k \to \infty}{a_{k,n}}\right)\cdot x^n+...+\left(\lim_{k \to \infty}{a_{k,0}}\right) και επειδή το όριο είναι μοναδικό θα ισχύει g(x)=f(x), δηλαδή η f είναι πολυώνυμο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από steliosdes — Μαΐου 11, 2008 @ 8:37 μμ

  5. Πολύ σωστά! Ωραία λύση.

    Σύγκλιση πολυωνύμων (στην προκειμένη περίπτωση) είναι ισοδύναμη με σύγκλιση των συντελεστών τους.

    Η «αφηρημένη αρχή» της Συναρτησιακής Ανάλυσης πίσω από αυτό το πρόβλημα είναι ότι σ’ ένα χώρο με νόρμα, κάθε υπόχωρος πεπερασμένης διάστασης είναι κλειστός.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 11, 2008 @ 9:39 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: