Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 8, 2008

Ημίτονα φυσικών

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 11:32 πμ

Στο σχήμα φαίνονται οι 20 πρώτοι όροι της ακολουθίας x_n=\sin n. Δείξτε ότι τα φαινόμενα απατούν: για κάθε \varepsilon>0 υπάρχουν n,m\in\mathbb N έτσι ώστε

0<|x_n-x_m|<\varepsilon.

Advertisements

6 Σχόλια »

  1. Καταρχήν έχουμε την ταυτότητα \sin(n) - \sin(m) = 2\cos(\frac{n+m}{2})sin(\frac{n-m}{2}) από όπου παίρνουμε |\sin(n) - \sin(m)| \leq 2sin(\frac{n-m}{2}).

    Αν βρούμε r,k ακεραίους τέτοιους ώστε |r - 2k\pi|< \varepsilon τότε θέτοντας r = n-m θα έχουμε από τη lipschitz συνέχεια |\sin(r/2)-\sin(k\pi)| < C|r-2k\pi| οπότε |\sin(r/2)|<C\varepsilon από όπου έπεται το ζητούμενο. Όμως το παραπάνω ερώτημα είναι μια απλή εφαρμογή της αρχιμείδιας ιδιότητας ή πχ. αν έχεις έναν πραγματικό a και θες r,k τ.ω. |r-ka|<\varepsilon γράψε lr-ka|=k|\frac{r}{k}-a|, πάρε ρητό \frac{r}{k} που να απέχει από το a λιγότερο από 1/2 και τότε lr-ka|=k|\frac{r}{k}-a|<1/2 οπότε \frac{1}{\varepsilon}k|\frac{\frac{1}{\varepsilon}r}{\frac{1}{\varepsilon}k}-a|<1/2 άρα με καινούρια r,k που είναι τα προηγούμενα πολλαπλασιασμένα με έναν ίδιο ακέραιο μεγαλύτερο του \frac{1}{\varepsilon} έχουμε
    lr-ka|=k|\frac{r}{k}-a|<\varepsilon/2

    Συγγνώμη για τυπογραφικά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Μαΐου 8, 2008 @ 4:06 μμ

  2. H λύση σου μέχρι το σημείο που λες ότι πρέπει να βρούμε r,k τέτοια ώστε |r-2k\pi|<\varepsilon είναι σωστή. Την ξαναγράφω ώστε να μπορεί να διαβάζεται…
    |\sin n-\sin m|=|\sin n-\sin(m+2k\pi)|,
    το οποίο είναι μικρότερο από
    \displaystyle 2\left|\sin\frac{n-m-2k\pi}{2}\right|\leq|n-m-2k\pi|.
    Άρα αν βρούμε δυο τέτοια r και k τελειώσαμε. Από κει και κάτω όμως δεν κάνει νόημα. Ξαναδές καλύτερα τί ακριβώς έχεις γράψει. Υποθέτω ότι εννοείς ότι παίρνουμε ρητό r/k ο οποίος να απέχει από το a απόσταση μικρότερη από \varepsilon/2. Αλλά τότε k|r/k-a|<k\varepsilon/2 και όχι k|r/k-a|<\varepsilon/2 όπως είναι αυτό που υποθέτω ότι ήθελες να γράψεις. Έχεις χάσει ένα k στο δεξιά μέλος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 8, 2008 @ 8:40 μμ

  3. Υπόδειξη 1:

    Μπορείτε να συμπληρώσετε την απόδειξη που ξεκίνησε ο ikonst παραπάνω, δείχνοντας ότι όντως για κάθε πραγματικό a και \varepsilon>0 υπάρχουν ακέραιοι r,k τέτοιοι ώστε |r-ka|<\varepsilon.

    Μπορείτε όμως να κάνετε κάτι πιο απλό: η x_n είναι φραγμένη, άρα…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 9, 2008 @ 4:58 μμ

  4. Υπόδειξη 2:

    Το θεώρημα Bolzano-Weierstrass σας λέει κάτι;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουνίου 25, 2008 @ 3:53 μμ

  5. Ως προς τη συμπλήρωση της προηγούμενης απόδειξης, έστω ένα ε>0 και α πραγματικός αριθμός.Τότε υπάρχει ν φυσικός ώστε 1/(ν+1)<ε.Τότε όμως απο το θεώρημα του Dirichlet υπάρχουν όντως ρ,κ ακέραιοι ώστε |ρ-κα|<1/(ν+1)<ε.

    Αλλά όντως πιο απλά, αφού είναι φραγμένη, θα έχει συγκλίνουσα υπακολουθία και αφού η υπακολουθία αυτή είναι συγκλίνουσα, τότε η υπακολουθία αυτή θα είναι και Cauchy.Και τότε όντως το συμπέρασμα έπεται.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από olack — Μαΐου 2, 2010 @ 9:07 μμ

  6. Σωστά. Πρέπει επίσης να παρατηρήσεις ότι η ακολουθία είναι 1-1 διαφορετικά δεν θα υπήρχε εγγύηση ότι η διαφορά είναι γνήσια θετική.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 2, 2010 @ 11:07 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: